Курсовая работа: Генерация полиномов

В данной курсовой работе можно использовать любое из приведенных определений полинома, но в общем последнее определение полинома проще для понимания, но имеет не мене глубокий смысл, чем остальные, так как позволяет взглянуть на полином как на некоторое формальное выражение вполне определенное набором своих коэффициентов (что гораздо упрощает работу с полиномами при их генерации) с одной стороны и как на функцию от переменного Х (с точки зрения математического анализа) с другой стороны.

1.1.3 Основные свойства полиномов

1. Равенство одного полинома другому.

Два многочлена f(x) и g(x) будут считаться равными (или тождественно равными), f(x) = g(x), в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. [1, С. 131]

2. Сложение и умножение полиномов.

Пусть и , где , , n, s – степени многочленов f(x) и g(x). Если n ≥ s (иначе переобозначим степени полиномов), то их суммой называется многочлен , коэффициенты которого получаются сложением коэффициентов f(x) и g(x), стоящих при одинаковых степенях переменного, т.е. , i = 0, 1, …, n. Степень суммы равна n, если n ≥ s, но при n = s она может оказаться меньше n, а именно в том случае если . [1, С. 132]

Произведением многочленов f(x) и g(x) называется многочлен , коэффициенты которого определяются следующим образом , так как , , то , поэтому степень произведения многочленов равна n + s. [1, С. 132]

3. Замкнутость относительно сложения и умножения. Исходя из первых двух свойств многочлена, очевидно, что складывая или перемножая два каких-либо многочлена от одного и того же переменного с коэффициентами из К, мы получим однозначно многочлен с коэффициентами из того же кольца К.

1.1.4 Используемые в исследовании теоремы и их доказательства

Т1. [1, С. 134]

Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно на найти такие многочлены q(x) и r(x), что

f(x) = g(x) ∙ q(x) + r(x), (1.1)

причем степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x) = 0. Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие этому условию определяются однозначно.

Доказательство. [1, С. 134-135]

Докажем сперва вторую половину теоремы. Пусть существуют еще многочлены q1(x) и r1(x), также удовлетворяющие равенству

f(x) = g(x) ∙ q1(x) + r1(x), (1.2)

причем степень r1(x) меньше степени g(x) или равна нулю. Приравнивая друг другу правые части равенств (1.1) и (1.2), получим:

g(x) ∙ [q(x) – q1(x)] = r1(x) – r(x).

Степень правой части этого равенства меньше степени g(x), степень же левой части была бы при больше или равна степени g(x). Поэтому должно быть q(x) – q1(x) = 0, т.е. q(x) = q1(x), а тогда и r(x) = r1(x), что и требовалось доказать.

Переходим к доказательству первой половины теоремы. Пусть многочлены f(x) и g(x) имеют соответственно степени n и s. Если n < s, то можно положить q(x) = 0, r(x) = f(x). Если же n ≥ s, то воспользуемся методом деления многочленов с действительными коэффициентами, расположенных по убывающим степеням неизвестного. Пусть

Полагая

(1.3)

мы получаем многочлен, степень которого меньше n. Обозначим эту степень через n1, а старший коэффициент многочлена f₁ (x) – через а_{n 1} . Положим, далее, если все еще n1 ≥ s,

(1.4)

Обозначим эту степень через n2, а старший коэффициент многочлена f₂ (x) – через а_{n 2} . Положим, далее, если все еще n2 ≥ s,

(1.5)и т.д.

Так как степень многочленов f₁ (x), f₂ (x), … убывают, n > n1 > n2 > …, то мы дойдем после конечного числа шагов до такого многочлена f_k (x),

(1.k)

степень которого nk меньше s, после чего наш процесс останавливается. Складывая теперь равенства (1.3), (1.4), (1.5), …, (1.k) мы получим:

т.е. многочлены

Действительно удовлетворяют равенству (1.2), причем степень r(x) действительно меньше степени g(x).

Т2. [1, С. 135]

Многочлен g(x) тогда и только тогда будет делителем многочлена f(x), если существует многочлен q(x), удовлетворяющий равенству

f(x) = g(x) q(x) (2.1)