Курсовая работа: Геометрия Лобачевского

Задача 5. Доказать, что прямая сохраняет признак параллельности во всех своих точках.

Доказательство. Пусть прямая ВВ параллельна в точке Р прямой АА. Рассмотрим точку Q, лежащую от точки Р в сторону параллельности, т.е. по ту же сторону от прямой PR, соединяющей Р с некоторой точкой R на АА, что луч RA. Возьмем какой-нибудь луч QQ, проходящий внутри угла BQR, обращенного своим отверстием в сторону параллельности, и докажем, что он пересекает луч RA. Для этого соединим какую-нибудь его точку QcP; луч PQпересечет RAв некоторой точке S ( так как прямая ВВ параллельна прямой АА в точке Р). Луч QQ, пересекающий сторону PS треугольника RPS, не может пересечь отрезка PR (так как тогда он проходил бы внутри смежного угла PQR) и не проходит ни через одну из вершин этого треугольника. Поэтому он должен пересечь отрезок PS. Таким образом, теорема доказана для того случая, когда точка Q расположена от то