Курсовая работа: Имитационное моделирование экономической деятельности предприятия

Метод Монте-Карло основан на статистических испытаниях и по природе своей является экстремальным, может применяться для решения полностью детерминированных задач, таких, как обращение матриц, решение дифференциальных уравнений в частных производных, отыскание экстремумов и численное интегрирование. При вычислениях методом Монте-Карло статистические результаты получаются путем повторяющихся испытаний. Вероятность того, что эти результаты отличаются от истинных не более чем на заданную величину, есть функция количества испытаний.

В основе вычислений по методу Монте-Карло лежит случайный выбор чисел из заданного вероятностного распределения. При практических вычислениях эти числа берут из таблиц или получают путем некоторых операций, результатами которых являются псевдослучайные числа с теми же свойствами, что и числа, получаемые путем случайной выборки. Имеется большое число вычислительных алгоритмов, которые позволяют получить длинные последовательности псевдослучайных чисел.

Один из наиболее простых и эффективных вычислительных методов получения последовательности равномерно распределенных случайных чисел r_i , с помощью, например, калькулятора или любого другого устройства, работающего в десятичной системе счисления, включает только одну операцию умножения.

Метод заключается в следующем: если r_i = 0,0040353607, то r_i+1 ={40353607ri} mod 1, где mod 1 означает операцию извлечения из результата только дробной части после десятичной точки. Как описано в различных литературных источниках, числа r_i начинают повторяться после цикла из 50 миллионов чисел, так что r_5oooooo1 ⁼ r₁ . Последовательность r₁ получается равномерно распределенной на интервале (0, 1).

Применение метода Монте-Карло может дать существенный эффект при моделировании развития процессов, натурное наблюдение которых нежелательно или невозможно, а другие математические методы применительно к этим процессам либо не разработаны, либо неприемлемы из-за многочисленных оговорок и допущений, которые могут привести к серьезным погрешностям или неправильным выводам. В связи с этим необходимо не только наблюдать развитие процесса в нежелательных направлениях, но и оценивать гипотезы о параметрах нежелательных ситуаций, к которым приведет такое развитие, в том числе и параметрах рисков.

1.3. Использование законов распределения случайных величин

Для качественной оценки сложной системы удобно использовать результаты теории случайных процессов. Опыт наблюдения за объектами показывает, что они функционируют в условиях действия большого количества случайных факторов. Поэтому предсказание поведения сложной системы может иметь смысл только в рамках вероятностных категорий. Другими словами, для ожидаемых событий могут быть указаны лишь вероятности их наступления, а относительно некоторых значений приходится ограничиться законами их распределения или другими вероятностными характеристиками (например, средними значениями, дисперсиями и т.д.).

Для изучения процесса функционирования каждой конкретной сложной системы с учетом случайных факторов необходимо иметь достаточно четкое представление об источниках случайных воздействий и весьма надежные данные об их количественных характеристиках. Поэтому любому расчету или теоретическому анализу, связанному с исследованием сложной системы, предшествует экспериментальное накопление статистического материала, характеризующего поведение отдельных элементов и системы в целом в реальных условиях. Обработка этого материала позволяет получить исходные данные для расчета и анализа.

Законом распределения случайной величины называют соотношение, позволяющее определить вероятность появления случайной величины в любом интервале. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Существует несколько законов распределения случайных величин.

1.3.1. Равномерное распределение

Данный вид распределения применяется для получения более сложных распределений, как дискретных, так и непрерывных. Такие распределения получаются с помощью двух основных приемов:

a) обратных функций;

b) комбинирования величин, распределенных по другим законам.

Равномерный закон – закон распределения случайных величин, имеющий симметричный вид (прямоугольник). Плотность равномерного распределения задается формулой:

т.е.на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность сохраняет постоянное значение (Рис.1).

Рис.1 Функция плотности вероятности и характеристики равномерного распределения

В имитационных моделях экономических процессов равномерное распределение иногда используется для моделирования простых (одноэтапных) работ, при расчетах по сетевым графикам работ, в военном деле – для моделирования сроков прохождения пути подразделениями, времени рытья окопов и строительства фортификационных сооружений.

Равномерное распределение используется , если об интервалах времени известно только то, что они имеют максимальный разброс, и ничего не известно о распределениях вероятностей этих интервалов.

1.3.2. Дискретное распределение

Дискретное распределение представлено двумя законами:

1) биноминальным, где вероятность наступления события в нескольких независимых испытаниях определяется по формуле Бернулли:

, где

n – количество независимых испытаний

m – число появления события в n испытаниях.

2) распределением Пуассона, где при большом количестве испытаний вероятность наступления события очень мала и определяется по формуле:

, где

k – число появлений события в нескольких независимых испытаниях

- среднее число появлений события в нескольких независимых испытаниях.

1.3.3. Нормальное распределение

Нормальное, или гауссово распределение, - это, несомненно, одно из наиболее важных и часто используемых видов непрерывных распределений. Оно симметрично относительно математического ожидания.

Непрерывная случайная величина t имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами т и > О, если ее плотность вероятностей имеет вид (Рис.2, Рис.3):