Идея метода состоит в следующем. Полагаем t₁₌ ∆t и решаем систему H (x, t₁ ) =0 при выбранном x⁰ . Получаем x^t ₁ . Далее, берем его в качестве начального приближения и решаем при новом t₂ =t₁ +∆t систему H (x, t₂ ) =0, получаем x^t ₂ и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Нелинейные системы H (x, t_i ) =0 на каждом шаге по t решаются, например, методом Ньютона, который обычно сходится, так как x^t _i-1 и x^t _i лежат близко друг к другу. Если несмотря на это решение x^t _i не получается за 6-7 итераций, ∆t уменьшается и система H (x, t_i ) =0 решается снова.

Последовательность шагов реализации алгоритма состоит в следующем:

Шаг 1. Формирование системы H ( x, t) =0.

Шаг 2. Выбор начального приближения x⁰ , (например, x⁰ =0) и точности решения ε_gon .

Шаг 3. Полагаем i=1.

Шаг 4. Вычисляем t_i =t_i-1 +∆t (обычно вначале берут ∆t=0,1)

Шаг 5. Решаем систему H (x, t_i ) =0. Получаем вектор x^t _i . При этом считаем число итераций m. Если m>10, значит метод Ньютона уже не сойдется, так как x^t _i-1 и x^t _i слишком далеки друг от друга. Тогда надо уменьшить ∆t в два раза и вернуться к шагу 4. Будем считать, что x^t _i найдено.

Шаг 6. Проверяем, достигли ли мы заданной точности. Например, используя первый способ,

|| x^t _i -x^t _i-1 || ≤ ε_gon .

Если последнее условие не соблюдается, то переходим к шагу 4. Иначе считаем, что x^*= x^t _i и расчеты закончены.

2. Описание программного обеспечения

2.1 Общие сведения и требования к ПО и описание логической структуры

ПО состоит из следующих файлов: mpr. m, prog. m, funf. m, funj. m. Программы, реализующие метод, разработаны в среде МаtLab, предназначенной для выполнения математических операций. Программа состоит из программы-функции mpr. m, которая описывает метод, программы с данными - основная программа prog. mи двух подпрограмм-функций funf. m - для нахождения корней системы уравнений; funj. m - для нахождения матрицы Якоби. Рассмотрим их подробнее.

Функциональное назначение

Программа предназначена для решения систем нелинейных алгебраических уравнений в среде МаtLab методом продолжения решения по параметру.

Используемые переменные:

t - время выполнения итерационного процесса;

x - вектор начального приближения к решению;

n - размерность вектора;

m - номер итерационного процесса;

it - счетчик итераций.

Входные параметры:

funf - формальное имя программы, которое дает возможность вычислить корни нелинейных САУ.

funj - формальное имя программы, которое дает возможность вычислить матрицу Якоби.

x0 - начальное приближение собственного вектора;

dt - приращение времени;

edop - заданная допустимая ошибка;

trace - установка режима вывода на экран;

Выходные параметры:

tout - выходное значение времени;

xout - конечное значение x;

dxout - конечное значение вектора ошибки.

Тексты программ: