(1)

где поляризуемость ионосферной плазмы P может быть найдена из уравнения сохранения импульса и энергии при движении электронов в поле волны и является нелинейной функцией этого поля. Если ограничиться учетом лишь квадратичной зависимости поляризуемости P от поля волны накачки, то уравнение (1) примет вид:

(2)

где n(w) –

показатель преломления ионосферной плазмы в линейном приближении.

Нелинейный член поляризуемости P_нел = выступает в данном случае в качестве источника второй гармоники. Решение уравнения (2) может быть представлено в виде:

 = (w) + (2w)

то есть в виде двух взаимодействующих волн с частотами w и 2w и волновыми векторами k₁ и k₂ = k₁ + D, D  малая расстройка. Воспользовавшись методом медленно меняющихся амплитуд амплитуды (w) (2w)  j₁  j₂ удовлетворят следующей системе укороченных уравнений:

(3)

Учитывая, что Ф = (k₂ - 2k₁ )Z + 2_ - _ последние два уравнения системы (3) могут быть объединены в одно уравнение для фазы Ф и система запишется в виде:

(4)

Решение этой системы существенным образом зависит от величины линейных показателей преломления волн накачки n_1,2 (w)  n_1,2 (2w). еличины n_1,2 (w,2w) могут быть найдены в результате решения системы уравнений

(5)

где:

;

H₀ – напряженность земного магнитного поля,  – угол между осью Z и направлением магнитного поля; и представляется в виде:

здесь верхний знак соответствует волне обыкновенной поляризации, нижний

– волне необыкновенной поляризации.

Легко видеть, что при

и v = 1

подкоренное выражение обращается в ноль и, следовательно, ионосферная плазма в этой области перестает быть двоякопреломляющей. При углах aпорядка 5⁰ , а в случаях, когда (что вполне возможно в ионосфере высоких широт) при углах a,  10  20⁰  v » 1 . ,  n_1,2 ,  2  v £ 1  1  v > 1.  v = 1 ,  (), .  (1.1), , , ,  v » 1  Dn_1,2 . ,  v » 1  (Dn_1,2 = 0) .  (4), (5) :