«Численные методы в экономике»

Тема: «Итерационный метод решения проблемы собственных значений»

Новосибирск , 2010

Введение

В данной курсовой работе рассмотрен итерационный метод решения проблемы собственных значений. Сходимость итерационного процесса может быть очень медленной. Причиной этого является наличие нелинейного элементарного делителя, соответствующего первому собственному числу. Другая причина – это близость второго собственного числа к первому. В этом случае можно ускорить сходимость несколькими методами. Одним из них является метод скалярных произведений, который рассмотрен в данной работе.

В методе скалярных произведений число итераций, необходимых для определения максимального собственного числа матрицы, с данной точностью, сокращается почти вдвое.

математический итерационный метод программный

1. Математическая постановка задачи

Этот метод особенно удобен в применении к симметричной матрице, однако попробуем изложить его без этого предположения. В основе метода лежат последовательности итераций вектора Y₀ матрицами A и A’, транспонированной с А. Эти последовательности имеют следующий вид:

Y₀ , Y₁ =A*Y₀ , Y₂ =A² *Y₀ , …, Y_k =A^k *Y₀ , … (1)

Y₀ , Y’₁ =A’*Y₀ , Y’₂ =A’² *Y₀ , …, Y’_k =A’^k *Y₀ , … (2)

Пусть b₁ , …, b_n координатывектора Y₀ вбазисе X’₁ , …, X’_n , a₁ , …, a_n координаты Y₀ вбазисе X₁ , …, X_n . При этом предположим, что базисы выбраны так, что система векторов X₁ , X₂ , …, X_n и X’₁ , …, X’_n удовлетворяет условиям ортогональности и нормированности.

Образуем скалярное произведение (Y’_k , Y_k ):

(Y’_k , Y_k )=(A’^k *Y₀ , A^k *Y₀ )=(Y₀ , A^2k *Y₀ )=(b₁ *X’₁ + … +b_n *X’_n , a₁ *l^2k ₁ *X₁ + … + + a_n *l^2k _n *X_n )

Далее в силу свойств ортогональности и нормированности системы векторов имеем:

(Y’_k , Y_k )=a₁ *b₁ *l^2k ₁ + … + a_n *b_n *l^2k _n (3).

Аналогично:

(Y’_k-1 , Y_k )=a₁ *b₁ *l^2k-1 ₁ + … + a_n *b_n *l^2k-1 _n (4).

Можно видеть, что из равенств (3) и (4) получаем:

(Y’_k , Y_k )/(Y’_{k -1} , Y_k ) = l₁ + O(l₂ /l₁ )^{2 k} .

Из этой оценки видно, что образование скалярного произведения сокращает число шагов итераций, нужных для определения максимального собственного l₁ , с данной точностью, почти вдвое. Однако при этом требуется дополнительное вычисление последовательности (2).

Следует отметить, что в случае симметричной матрицы, последовательности (1) и (2) совпадают, и поэтому в этом случае применение метода скалярного произведения особенно целесообразно. Начиная с некоторого шага итерации, нужно вычислять соответствующие скалярные произведения и определять l₁ через их отношения.

2. Описание программного обеспечения

Программа, реализующая рассматриваемый метод, разработана в среде МаtLab, предназначенной для выполнения математических операций. Она состоит из головной программы и 2х подпрограмм, вызываемых из основной программы.

Головная программа (main.m)

В основной программе задается начальное приближение yn, начальное значение собственного вектора L1 и значение допустимой ошибки ed.

Текст программы:

clc %очистка экрана

yn=[1; 1; 1; 1]; %задание начального приближения собственного вектора

L1=-5.5251;%начальное значение собственного числа матрицы

ed=0.00001; %значение допустимой ошибки

trace=1; %установка режима вывода на экран

[mout, Lout, yout]=sobstv ('fun', yn, L1, ed, trace);%вызов функции, реализующей метод скалярных произведений

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--