Курсовая работа: Клеточные пространства

1. Замыкание клетки может не быть клеточным пространством. Пример: разбиение букета на клетки , и () - делает его клеточным пространством, но если а не есть отмеченная точка окружности , то замыкание последней клетки не является подпространством (см. рис.1).

Рис.1

2. Из (W) не следует (С). Разбиение диска D² на внутренность IntD² и отдельные точки граничной окружности удовлетворяет аксиоме (W) (потому что всегда FIntD² = F), но не удовлетворяет аксиоме (С).

3. Из (С) не следует (W). Возьмем бесконечное семейство │α=1,2,…копий отрезка I, отождествим нулевые концы и топологизируем получившееся множество при помощи метрики: расстояние между точками , равно, если , и равно , если. Разбиение построенного пространства на множества и оставшиеся точки не удовлетворяет, из условий, входящих в определение клеточного пространства, только аксиоме (W): точки составляют последовательность, сходящуюся к 0, и, значит, незамкнутое множество, но пересечение этой последовательности с замыканием любой клетки замкнуто.

Кстати, если, как это только что было, разбиение пространства на клетки удовлетворяет всем условиям из определения клеточного пространства, кроме аксиомы (W), то можно ослабить в этом пространстве топологию, определив новую топологию при помощи аксиомы (W). Эта процедура называется "клеточным ослаблением топологии".

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

При конечном n имеется два канонических клеточных разбиения сферы . Первое состоит из двух клеток: точки (любой, скажем, (1,0,... ..., 0)) и множества (рис.2а). Характеристическое отображение , отвечающее второй клетке, - это обычное "сворачивание" сферы из шара; годится, например, отображение, действующее по формуле , где (рис.3).

Рис.2

Рис.3

Другое каноническое клеточное разбиение сферы состоит из 2n +2 клеток : клетка состоит из точек , у которых и (рис.2б). Заботиться о характеристических отображениях здесь не приходится: замыкание каждой клетки очевидным образом гомеоморфно шару соответствующей размерности.

Заметим, что оба описанные клеточные разбиения сферы получаются из единственного возможного разбиения сферы (двоеточия) посредством применения канонической конструкции клеточного разбиения надстройки: в первом случае нужно брать надстройку над сферой как над пространством с отмеченной точкой, а во втором случае - обыкновенную надстройку.

Существует, конечно, масса других клеточных разбиений сферы : ее можно разбить на 3ⁿ⁺¹ - 1 клеток как границу (n+1) - мерного куба, на клеток - как границу (n+1) - мерного симплекса и т.п. .

Все описанные клеточные разбиения, кроме самого первого, годятся для сферы .

Клеточное разбиение шара можно получить из любого клеточного разбиения сферы путем присоединения одной клетки Int с характеристическим отображением id: . Наиболее экономное клеточное разбиение шара состоит, таким образом, из трех клеток. Правда, ни одно из этих разбиений не годится для шара .

2.2 Проективные пространства

При отождествлении диаметрально противоположных точек сферы клетки- клеточного разбиения склеиваются между собой и получается (n+1) - клеточное разбиение пространства R, по одной клетке в каждой размерности q≤n. Это же разбиение можно описать так:

R│.

Еще одно описание этого разбиения: имеется цепочка включений

RRRR,

и мы полагаем e^q = R - R. Характеристическим отображением для e^q служит композиция канонической проекции D^q R и включения RR. При n= наша конструкция доставляет клеточное разбиение пространства R, содержащее по одной клетке каждой размерности. Конструкция имеет также комплексный, кватернионный и кэлиев аналоги. Она дает: разбиение пространства С на клетки размерностей 0, 2, 4,..., 2n; разбиение пространства Hна клетки размерностей 0, 4, 8,..., 4n; разбиение пространства СаР² на клетки размерностей 0,8,16; клеточные разбиения пространств Си H, содержащие по одной клетке в каждой размерности, делящейся, соответственно, на 2 и 4. Например, пространство С разбивается на клетки

С│

с характеристическими отображениями

C С.

2.3 Многообразия Грассмана

Описываемое ниже клеточное разбиение многообразий Грассмана очень важно для геометрии и топологии (особенно для теории характеристических классов). Составляющие его клетки называются клетками Шуберта, а само оно называется шубертовским.

Пусть - произвольная конечная (возможно, пустая) невозрастающая последовательность целых положительных чисел, не превосходящих k, причем s ≤ n - k. Обозначим через e () подмножество пространства G (n,k), составленное из подпространств пространства R, удовлетворяющих следующим условиям (мы полагаем =0):

R при m ≤ k - m;

codim (R) =о при ;

R при m ≤ k + s + 1