Курсовая работа: Клеточные пространства

Рис.6

Так, остов за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F: XIY. Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно, то наше индуктивное построение будет состоять из бесконечного числа шагов; в этом случае непрерывность окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W). Теорема доказана.

3.2 Следствия из теоремы Борсука

Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X.

Доказательство. Обозначим через проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия f_t : АА, такая, что отображение f₀ : А А тождественно и f (A) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия F_t : ХХ, такая, что F₀ = id и F_t │_A =f_t . B частности F (A) =* (точка). Это означает, что можно рассматривать как отображение, заданное на Х/А, точнее, что F⁼ qp, где q: Х/А X - некоторое непрерывное отображение. По построению, F ~F₀ , т.е. qp ~ id.

Далее, F_t (А) А (при любом t), т.е. р F_t (А) = *. Следовательно, рF_t = = q_t р, где q_t : Х/А Х/А - некоторая гомотопия. При этом q = id иq = рq; следовательно, р q ~ id.

Следствие доказано.

Следствие 2. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то Х/А ~ X СА, где СА - конус над А.

Доказательство. Х/А = (X СА) /СА ~Х СА; последнее вытекает из предыдущего следствия, примененного к клеточному пространству X СА и его стягиваемому клеточному подпространству СА.

Замечание. Оба доказанных предложения можно рассматривать не как следствия из теоремы Борсука, а как самостоятельные теоремы, только предположения о клеточности X и А нужно тогда заменить в первом случае предположением, что (X, А) - пара Борсука, а во втором случае - предположением, что (X СА, СА) - пара Борсука.

3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.

Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение ("относительный вариант" нашей теоремы).

Теорема. Пусть f - непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство Y, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображение f клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g: XY, что g│_A =f│_A и, более того, f~grelA.

Поясним запись f~grelA (читается: f гомотопно g относительно А), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображения f, g: X Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопия h: ХY, соединяющая f с g и неподвижная на А, т.е. такая, что h_t (а) не зависит от t при а А. Конечно, из f~ grelА следует, что f ~ g, но не наоборот. Пример: f,g: IS, f - "наворачивание" отрезка на окружность, g - отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (01).

Доказательство теоремы. Предположим, что отображение f уже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность < р. Возьмем р-мерную клетку е^р X - А. Ее образ f (e^p ) пересекается лишь с конечным числом клеток пространства Y (это следует из компактности f (^p )). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем, , dim= q. Если q≤ р, то нам с клеткой е^р делать нечего. В случае же q >р нам потребуется следующая лемма.

Лемма о свободной точке. Пусть U - открытое подмножество пространства R^p и : U IntD^q - такое непрерывное отображение, что множество V = (d^q ) U, где d^q - некоторый замкнутый шарик в IntD, компактно. Если q> р, то существует непрерывное отображение : UIntD^q , совпадающее с вне

V и такое, что его образ не покрывает всего шара d^q .

Доказательство этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение автоматически будет гомотопным относительно U - V: достаточно взять связывающую с "прямолинейную" гомотопию, при которой точка (u) равномерно движется к (u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему (u) с (u).

Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│ гомотопно rel (AX) отображению f’: AX е ^р Y, такому, что f’ (e^p ) задевает те же клетки, что и f (e^р ), но заведомо f’ (e^p ) не содержит всю клетку . В самом деле, пусть h: D^p Х, k: D^p Y - характеристические отображения, соответствующие клеткам е^р , . Положим U=h (f () е^р ) и определим отображение : UIntD^q как композицию:

uxy = (u)

Uef () IntD^q Обозначим через d^q (замкнутый) концентрический подшар шара D^q . Множество V= (d^q ) компактно (как замкнутое подмножество шара D^p ). Пусть : UIntD^q - отображение, доставляемое леммой о свободной точке. Отображение f' определим как совпадающее с f вне h (U) и как композицию

x u

«

1

2

3

4

»

• >>> Скачать <<<