Курсовая работа: Клеточные пространства

Содержание

Введение

1. Основные определения

1.1Терминологические замечания

1.2 Комментарии к определению клеточного пространства

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

2.2 Проективные пространства

2.3 Многообразия Грассмана

2.4 Многообразия флагов

2.5 Классические поверхности

3. Гомотопические свойства клеточных пространств

3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий

3.2 Следствия из теоремы Борсука

3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

3.4 Доказательство леммы о свободной точке

3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации

Заключение

Список использованных источников

Введение

В системе высшего образования весьма значительную роль играет гомотопическая топология, которая почти никогда не рассматривает совершенно произвольных топологических пространств. Обычно она изучает пространства с той или иной дополнительной структурой, причем со времен основоположника топологии Анри Пуанкаре рассматривают структуры двух типов. Первый тип - структуры аналитического происхождения: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. Структуры второго, более важного для нас типа - комбинаторные структуры. Они заключаются в том, что пространство расчленено на более или менее стандартные, и изучение пространства сводится к изучению взаимного расположения этих частей.

Одна из важнейших из комбинаторных структур - клеточная структура. В гомологии она является эффективным вычислительным средством.

Данная работа посвящена изучению клеточной структуры, приведению некоторых теорем, свидетельствующие о полезности понятия клеточного пространства для гомотопической топологии., а так же подтверждающие необходимость изучения рассмотренной темы и всей топологии в целом, как основы для систематизации знаний по многим разделам высшей математики.

1. Основные определения

Клеточное пространство - это хаусдорфово топологическое пространство К, представленное в виде объединения попарно непересекающихся множеств ("клеток") таким образом, что для каждой клетки существует отображение q-мерного шара в К (характеристическое отображение, отвечающее клетке ), сужение которого на внутренность Int шара представляет собой гомеоморфизм Int≈. При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы.

(С) Граница = − клетки содержится в объединении конечного числа клеток с r < q.

(W) Множество FК замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки замкнуто пересечение F.

(Иногда характеристические отображения считаются фиксированными, т.е. рассматриваются как элемент структуры. Разумеется, такая модификация определения будет явно оговариваться)

1.1Терминологические замечания

1. Термин "клеточное пространство" не является абсолютно общепринятым: говорят также "клеточное разбиение" или "клеточный комплекс" или "CW-комплекс". Выражение "клеточное разбиение" мы будем употреблять как синоним выражения "разбиение пространства на клетки"; термин же "комплекс" будет у нас употребляться исключительно в алгебраическом значении.

2. Обозначения аксиом (С) и (W) являются стандартными; они происходят от английских слов "closurefinite" и "weaktopology".

Клеточное подпространство клеточного пространства K - это замкнутое его подмножество, составленное и целых клеток; клеточные подпространства являются самостоятельными клеточными пространствами. Важнейшие клеточные подпространства клеточного пространства - его остовы: n-й остов есть объединение всех клеток размерности n (по определению, размерность клетки равна q). Стандартные обозначения для n-го остова пространства или X. Кстати, некоторые говорят "n-мерный остов", но это неправильно: размерность клеточного пространства определяется как верхняя грань размерностей его клеток, и, очевидно, размерность n-го остова меньше или равна n. Клеточное пространство называется конечным (счетным), если оно состоит из конечного (счетного) числа клеток.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--