Курсовая работа: Лінійна залежність n мірних векторів Програма

Доведення . Якщо перші три вектори є компланарними, то вони утворять лінійно залежну підсистему (припущення 5 ). Отже, уся система лінійно залежна (припущення 2 ). Якщо перші три вектори – не компланарні, то четвертий є їхньою лінійною комбінацією. За припущенням 1 система є лінійно залежної.

Фактично ми маємо справу з лінійною однорідною системою рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів. Якщо дана система має нульовий розв‘язок, то вектори будуть лінійно незалежними, Якщо ж крім нульового система має ще й ненульовий розв‘язок, то дані вектори лінійно залежні.

Перерахуємо наступні властивості:

Якщо система векторів містить нульовий вектор, то вона лінійно залежна

Якщо система векторів містить лінійно-залежну підсистему векторів, то вона буде лінійно - залежною.

Якщо система векторів лінійно-незалежна, то і будь-якій її підсистемі буде лінійно незалежною.

Якщо система векторів містить хоча б один вектор, що є лінійною комбінацією інших векторів, то ця система векторів буде лінійно залежною.

Поняття лінійної залежності має досить глибокий зміст і широко використовується в математиці. Не вдаючись в подробиці наведемо наступні застосування цього поняття.

Всяка упорядкована сукупність лінійно незалежних векторів, через які лінійно виражається довільний вектор простору, називається базисом цього простору. Неважко переконатися в еквівалентності цього означення і означення базисів у просторах .

Максимальне число лінійно незалежних векторів деякого простору називається його розмірністю. Розмірність простору дорівнює числу базисних векторів цього простору.

Максимальне число лінійно незалежних стовпчиків матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків , і це число дорівнює рангу матриці.

Отже зважаючи на все вище сказане дамо загальне визначення базису :

Визначення 1 Базисом векторного простору називається така упорядкована лінійно незалежна система векторів, що будь-який вектор простору розкладається по векторах цієї системи.

Опис програми

Програма визначення лінійної залежності або незалежності векторів написана на мові програмування Turbo Pascal та працює за відносно простим алгоритмом роботи – розв‘язком системи лінійних рівнянь та подальшої її перевірки на умову незалежності векторів.

Головна процедура системи - Procedure Lineq – відповідає за розв‘язок системи рівнянь та знаходження коефіцієнтів. Початкові дані (вектори) вводяться стандартним способом з клавіатури в базовій частині програми у вигляді матриці дійсних чисел. В останньому боці програми після виклику Procedure Lineq – виконується перевірка умови залежності з масиву знайдених розв’язків – Ex . В результаті роботи програми на екран буде виведене остаточне повідомлення стосовно лілейної залежності або не залежності представлених векторів.

Текст програми

Program Linijna_Zaleshnist_Nezaleshnist;

Const Dim1 = 20

Dim2 = 21;

{dim2=dim1+1}

Type Ar1 = Array[1..Dim1,1..Dim2] of Real;

Ar2 = Array[1..Dim1] of Real;

Var n:Integer; {Rozmirnist}

i,j:Integer; {Dodatkovi zmini}

S:Ar1 {Golovna matrica};

Ex:Ar2 {Vihidnij razvjazok}

Cod:Byte;

e:Real;

Procedure Lineq(a:Ar1;

n:Integer;