Курсовая работа: Математическое моделирование полета лыжника при прыжке с трамплина

. (4)

Предельная скорость - это скорость установившегося свободного падения тела в воздухе.

Спроецировав (1) на оси координат, путем несложных преобразований приходим к дифференциальным уравнениям движения:

(5)

Понизим порядок системы:

(6)

Следует также помнить, что воздушная среда находится в движении, в воздухе вокруг трамплинной горы задано векторное поле скоростей ветра. То есть все предыдущие уравнения записаны для относительных скоростей и их следует переписать для абсолютных скоростей.

(7)

где - горизонтальная, а - вертикальная составляющая скорости ветра.

Начальные условия:

(8)

Очевидно, что в общем случае задача если и решается аналитически, то очень сложно, поэтому целесообразнее решать ее численно. Критерием окончания расчета будет служить выполнение одного из следующих условий:

пересечение траектории со склоном горы;

вылет прыгуна за пределы участка приземления:.

Рассмотрим коэффициенты и. В простейшей модели можно положить их постоянными, как сделано, например, в работе [4]. Однако в действительности эти коэффициенты зависят от ориентации лыжника в воздухе и от его позы. Но у нас есть достаточно оснований считать позу лрыгуна постоянной в полете, такое допущение сделано не только в этой работе, но и в работах [2 - 4]. Ориентацию же лыжника в пространстве определяет угол атаки системы прыгун-лыжи, то есть угол между плоскостью системы и скоростью набегающего потока воздуха. Здесь и далее в

Рис. 4. Определение угла атаки системы лыжник-лыжи

(- угол между лыжами и горизонталью, - угол между скоростью и горизонталью, - угол атаки).

Как видно из кинограмм прыжков, приводимых, например, в [1], и из наблюдений за прыгунами, угол между лыжами и горизонталью в полете практически не меняется, меняется лишь угол между скоростью и горизонталью. Тогда, учитывая выражения (2) и (9), можно записать:

. (11)

Из рис. 4 видно, что

. (12)

Аэродинамические коэффициенты и можно найти из опытов в аэродинамической трубе. Однако в настоящее время мы не располагаем этими данными для современных техник прыжка, поэтому в данной работе используется лишь оценка аэродинамических коэффициентов. Рассмотрим лыжника и окрыжающий его воздух. Если рассмотреть воздух, как идеальный газ, состоящий из круглых упругих частичек, то согласно теории удара аэродинамическая сила будет направлена по нормали к поверхности лыж (см. рис. 5).

Рис. 5. Подъемная сила и сила лобового сопротивления в потоке идеального газа

(- полная аэродинамическая сила, составляющими которой являются сила лобового сопротивления и подъемная сила).

Угол между скоростью и лыжами - это угол атаки . То есть коэффициент

(13)

Окончательно имеем следующие выражения для и :