Курсовая работа: Математичний більярд
Для нас важливо, що у всіх випадках є величина, яка зберігається при русі частки. Ця величина — кут падіння. Така величина називається інваріантом, а у фізиці — частіше першим інтегралом.
· Рівність всіх траєкторій (з рівності кутів)
· Середини всіх ланок траєкторії віддалені від центра кола на однакову відстань.
Будь-яка більярдна траєкторія в колі ніколи не заходить всередину деякого концентричного кола, границі якого дотикаються всі її ланки, тобто це значить, що більярд в колі не ергодичний.
Більярдна траєкторія в колі не всюди щільна. Вид більярдної траєкторії в колі повністю визначається числом α, а саме
Якщо число α таке, що α/π є раціональним числом (тобто дорівнює деякому дробу m/n з цілими m і n), то більярдна траєкторія періодична
Якщо α/π ірраціональне, то відповідаюча куту α траєкторія неперіодична.
Доведення
Α =m/n*2π , m,n – цілі
Nα = 2πm, при повороті на кут nα кожна точка Г переходить в себе.
P0 P1 P2 P3 (вершини більярдної траєкторії: Pn =P0 ; Pn +1 = P1 ; Pn +2 = P2… )
Тобто вершини, починаючи з n-ої повторюються. (що і свідчить про періодичність більярдних траєкторій)
Якщо m/n нескоро чувана, то траєкторія складається з nланок. При m=1 – це буде правильний n-кутник, при m>=2 траєкторія представляє собою правильну самоперетинаючуюся замкнену (зірчасту) ламану! Більярдний шар після nвіддзеркалень від борта Г опиняється в початковій точці P0 (зробив m обертів навколо центру О).
Уявімо, що більярдна траєкторія періодична/, тоді α і π такі, що α/π – раціональні, а це протирічить умові, що α/π– ірраціональне. Теорему доведено.
Теорема Якобі. Нехай α – невимірне з π (α/π - ірраціональне), {P0, P1, P2, …}={ Pk } – нескінченна послідовність точок послідовності Pk +1 отримується з попередньої точки Pk поворотом навколо центра на α радіан. Тоді для будь-якої дуги Δ кола Г хоча б одна точка послідовності { Pk } лежить на цій дузі.
Теорема Якобі стверджує, що якщо коло провертати на ірраціональний (в градусах) кут р, то образи кожної точка а, а+р, а+2р ... (в кутових координатах, узятих по модулю 360°) заповнять щільно все коло.
Неперіодичний рух може виявитись «майже періодичним», або квазіперіодичним. Квазіперіодичність означає, що хоч його траєкторія і не замкнена, але через деякий час (через квазіперіод) вона буде близько до попереднього відрізку траєкторії. Характерні квазіперіодичні траєкторії для кола показано на малюнку.
Виявляється, для більярда в колі неперіодична траєкторія має бути квазіперіодичною. Вказані неперіодичні траєкторії всюди щільно заповнюють відповідну область. Якщо вважати, що більярдний шар «чорнильний» і залишає після себе слід, то він з часом обов’язково замалює всю область цілком. Зрозуміло, що періодична траєкторія властивості всюди щільної мати не може – вона може заповнювати область «дуже щільно», але не всюди щільно. Довільна неперіодична траєкторія більярда в колі та еліпсі не є всюди щільною.
Більярд в кільці. Ще одним прикладом досить правильної області з гладкою криволінійною межою служить кільце, тобто область, укладена між двома концентричними колами. В кільці бувають траєкторії двох типів:
а) що відображаються тільки від зовнішнього круга — ці траєкторії зберігають кут падіння, як і в крузі (вони не «відчувають» присутності внутрішнього круга);
б) що відображаються поперемінно від зовнішнього і від внутрішнього кругів.
Траєкторії типу «б» трохи складніше, ніж типу «а», але і у них кути падіння на зовнішнє коло однакові. І на внутрішню — теж, що видно з мал.
Траєкторії математичного більярду в еліпсі
Природним узагальненням круга в математиці є еліпс. Цікава властивість більярдів в еліпсі: як би ми не випустили більярдний шар з одного фокусу, він після одного віддзеркалення від еліпсу пройде через другий фокус, після другого – через перший фокус. (дотична до еліпса, що проведена в його довільній точці М, утворює рівні кути з відрізком F1 MF2 M, що з’єднують обидва фокуси з цією точкою).
Теорема про каустик в еліпсі. Якщо одна ланка більярдної траєкторії в еліпсі Э0 проходить через фокус, то і вся решта ланок проходить через фокуси. Якщо ж жодна ланка траєкторії не проходить через фокуси, то всі її ланки торкаються однієї і тієї ж кривої. Цією кривою є або еліпс Э1 софокусний з даним, або гіпербола Г1 , софокусна з даним еліпсом Э0 (в останньому випадку торкатися гіперболи Г1 можуть не самі ланки, а їх продовження за точку віддзеркалення).
Криві, які одночасно торкаються всіх ланок більярдної траєкторії, називаються її каустиком. Точніше, каустика в більярді — це така крива, що якщо більярдну частку запустити по дотичній до неї, то після віддзеркалення частка також полетить по дотичній до цієї ж кривої. Термін «каустику» запозичений з оптики, де він означає лінію, огинаючу світловий пучок в місці його сходження після віддзеркалення від дзеркала (назва «каустика» означає ту, що «пекуча», оскільки каустик служить місцем концентрації енергії).
Доказ теореми: