Курсовая работа: Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях

Задачи первой группы:

Дано : группа из альтернатив-вариантов решения проблемы и критериев, предназначенных для оценки альтернатив; каждая из альтернатив имеет оценку по каждому из критериев. Требуется : построить решающие правила на основе предпочтений ЛПР, позволяющие: выделить лучшую альтернативу; упорядочить альтернативы по качеству; отнести альтернативы к упорядоченным по качеству классам решений.

Задачи второй группы:

Дано : группа из критериев, предназначенных для оценки любых возможных альтернатив; альтернативы либо заданы частично, либо появляются после построения решающего правила.

Требуется : на основании предпочтений ЛПР построить решающие правила, позволяющие: упорядочить по качеству все возможные альтернативы; отнести все возможные альтернативы к одному из нескольких (указанных ЛПР) классов решений.

А теперь от теории принятия решений перейдём к матричным играм.

Матричная игра игроков с нулевой суммой может рассматриваться, как следующая абстрактная игра двух игроков.

Игрок А имеет mстратегийi = 1, 2, …, m. Игрок В имеет nстратегий j = 1, 2, …, n. Каждой паре стратегий (i , j ) поставлено в соответствие число а, выражающее выигрыш игрока А за счет игрока В , если первый игрок примет своюi -ю стратегию, а второй – свою j -ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: игрок А выбирает свою i -ю стратегию (i = ) , В – свою j -ю стратегию (j = ), после чего игрок А получает выигрыш а за счет игрока А (если а< 0, то это значит, что игрок В платит второму сумму |а|). На этом игра заканчивается.

Каждая стратегия игрока i = или j = часто называется чистой стратегией.

Если рассмотреть матрицу А:

а	а	…	а	…	а
…	…	…	…	…	…
а	а	…	а	…	а
…	…	…	…	…	…
а	а	…	а	…	а

то проведение каждой партии матричной игры с матрицей сводится к выбору игроком А i -й строки, а игроком В j -го столбца и получения игроком А (за счет игрока В ) выигрыша а.

Как было сказано выше, главным в теории игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока.

Исходя из этих позиций, игрок А исследует матрицу выигрышей следующим образом: для каждого значения i (i = ) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока В

а ( i = )

т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока А при условии, что он примет свою i -ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = i , при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится

а = а= α

1.2 Определение игры

Дадим определение понятию «Игра». Игрой называется набор

,

где N – произвольное множество игроков; S – произвольное множество всех исходов игры; X_K - произвольное множество стратегий коалиции KN ; S ( X^K ) S – множество возможных исходов, если коалиция Kприменяет стратегию х ^K Х _K ; - транзитивное отношение предпочтения коалиции KN наS . При математической формализации игра, должна проходить по определенным правилам, которые представляют следующую систему условий:

- возможные действия каждого из игроков;

- объем информации, которую может получить каждая сторона о действиях другой;

- исход игры в результате каждой совокупности ходов противников.

Игроки: Считается заданным список игроков. Если игроков различать по номерам, то их список сводится к множеству , где - число игроков. Считается, что игроки осведомлены о наличии каждого из своих партнеров.

Действия: Каждый игрок имеет в своём распоряжении некоторый набор стратегий . Множества могут быть как конечными, так и бесконечными. В основе рационального поведения участников игры лежит так называемый постулат «общего знания»: каждый полностью информирован о своих стратегических возможностях и о стратегических возможностях своих партнёров. Процесс игры состоит в выборе каждым из игроков своей стратегии: . В результате складывается игровая ситуация . Множество Ω всех возможных игровых ситуаций образует ситуационное пространство игры, обозначаемое .

Интересы: Степень заинтересованности игрока kв той или иной ситуации s определяется размером выигрыша , который в этой ситуации он может получить. Таким образом, правила игры получаются заданием так называемых, функций выигрыша . Эти функции принимают числовые значения и имеют общую область определения . Каждая из таких функций есть функция «n-переменных»: .

Основной целью теории игр является выработка рекомендаций для удовлетворительного поведения игроков в конфликте, то есть выявление для каждого из них «оптимальной стратегии». Оптимальной называется стратегия, которая при многократно повторяющейся игре гарантирует игроку максимально возможный средний выигрыш (или эквивалентно минимально возможный