х = -1

Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки.

x= -2, y’= -4+2<0

x= 0, y’= 0+2>0

Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х = -1, это точка минимума функции. Так как функция непрерывна в точке х = -1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1].

Точки экстремума: xmin= -1

Экстремумы функции: ymin= y(-1) = 1 – 2 = -1

Глава 3. Исследование функций

3.1 Общая схема исследования функций

Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования:

1) D(y) – область определения (область изменения переменной х)

2) E(y) – область значения х (область изменения переменной у)

3) Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.

4) Точки пересечения графика функции с осями Ох и Оу (по возможности).

5) Промежутки знакопостоянства:

а) функция принимает положительное значение : f(x) > 0

б) отрицательное значение : f(x) < 0.

6) Промежутки монотонности функции:

а) возрастания;

б) убывания;

в) постоянства ( f= const).

7) Точки экстремума (точки минимума и максимума)

8) Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума)

9) Дополнительные точки.

Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции.

Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции.

3.2 Признак возрастания и убывания функций

Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции.

Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции.

Определение монотонности функции на интервале Функция y= f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х1 и х2 этого интервала из условия

х1< х2 следует, что f(x1) < f(x2). Если же из условия х1 < х2 следует, что f(x1) > f(x2), то функция называется убывающей на этом интервале.