Курсовая работа: Метод релаксации переменных решения СЛАУ

Для получения расчетных формул (1.21) перепишем в виде

,

(1.22)

или в покомпонентной записи получим

.

(1.23)

Приведем несколько строк покомпонентной записи

,	(1.24)
,	(1.25)
	(1.26)

Практика применения итерационных методов показала, что эти методы приводят к правильному решению для систем с матрицей А имеющей специальный вид. Приведем ряд теорем о сходимости итерационных методов. Доказательства этих теорем приводятся в книге [1].

Рассмотрим итерационные методы с постоянным итерационным параметром, записанные в виде

.

(1.27)

Теорема 1.

Пусть А - симметричная положительно определенная матрица, t >0 и пусть выполнено неравенство В- 0,5t А >0. Тогда итерационный метод (1.27) сходится.

Следствие 1.

Пусть А - симметричная положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, т.е.

(1.28)

Тогда метод Якоби сходится.

Следствие 2.

Пусть А - симметричная положительно определенная матрица. Тогда метод верхних релаксаций сходится при условии 0<w <2. В частности, метод Зейделя сходится (w =1).

Теорема 2.

Итерационный метод (1.27) сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы по модулю меньше единицы.

Теорема 3.

Пусть А и В - симметричные положительно определенные матрицы, для которых справедливы неравенства , где g ₁ ,g ₂ - положительные постоянные, g ₁ >g ₂ . При итерационный метод (1.27) сходится и для погрешности справедливы оценки

, i =0,1,...,

(1.29)

Где

	(1.30)
,	(1.31)
,	(1.32)
.	(1.33)

Следствие 1.

Если А^Т =А >0, то для метода простой итерации

(1.34)

при

(1.35)

справедлива оценка

,

(1.36)

где

	(1.37)
	(1.38)

Следствие 2.

Для симметричной матрицы А и

(1.39)

справедливо равенство

,

(1.40)

где ,. В приложениях часто встречаются задачи с плохо обусловленной матрицей А , когда отношение велико. В этом случае число r ₀ близко к единице, и метод простой итерации сходится медленно.

Оценим число итераций n ₀ (e ), которое требуется для достижения заданной точности e в случае малых x , т.е. для получения оценки

.

(1.41)

Из условия получаем, что

,

(1.42)

и при малых x имеем

.

(1.43)