Курсовая работа: Метод релаксации переменных решения СЛАУ

1.1 Метод верхних релаксаций

линейный уравнение итерационный релаксация

Среди явных одношаговых итерационных методов наибольшее распространение получил метод верхних релаксаций (1.21). Это связано с тем, что метод верхних релаксаций содержит свободный параметрw , изменяя который можно получать различную скорость сходимости итерационного процесса.

Наиболее эффективно этот метод применяется при решении множества близких алгебраических систем линейных уравнений. На первом этапе проводится решение одной из систем с различными значениями итерационного параметраw и из анализа скорости сходимости итерационного процесса выбирается оптимальное значение этого параметра. Затем все остальные системы решаются с выбранным значением w .

Еще одно достоинство итерационного метода верхних релаксаций состоит в том, что при его реализации на ЭВМ алгоритм вычислений имеет простой вид и позволяет использовать всего один массив для неизвестного вектора.

Основная вычислительная формула имеет вид

(1.44)

В выражение (1.44) и входят одинаковым образом, следовательно, при вычислениях они могут записываться в один и тот же массив. При реализации метода верхних релаксаций используется следующая форма записи алгоритма вычислений

.

(1.45)

Действительно, при последовательном нахождении элемента (i +1 итерации) на каждом шаге будут использоваться найденные ранее значения, которые при k <j соответствуют i +1 итерации, а при k > j - i итерации.

Современная вычислительная техника позволяет проводить исследование устойчивости и сходимости итерационного метода в зависимости от параметров задачи. Например, можно проводить исследование влияния повышения точности решения задачи на число необходимых итераций, исследование влияния начального приближения, изменения коэффициентов матрицы А и правых частей системы.

1.2 Âû÷èñëèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ìåòîäà âåðõíèõ ðåëàêñàöèé

Один из основных вопросов применения итерационных методов связан с корректностью выбора точности метода e.

Àíàëèçèðóÿ âû÷èñëèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè âûðàæåíèÿ (1.45), ïîëó÷èì îöåíêó íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ òî÷íîñòè ìåòîäà âåðõíèõ ðåëàêñàöèé.

Очевидно, что искомая погрешность вычислений будет определяться погрешностью задания коэффициентов исходной системы и погрешностью округления.

Çàïèøåì ðàçíîñòü äâóõ èòåðàöèîííûõ ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ è îöåíèì å¸ ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå

(1.46)

Пусть коэффициенты и f_i заданы с некоторой относительной погрешностью . Предположим, что итерационный метод сходится, и невязка

(1.47)

бывает с ростом номера итерации k , т.е. . Оценка абсолютной погрешности правой части выражения (10) может быть представлена в следующем виде

,

(1.48)

здесь .- модуль минимального значения диагонального элемента .Отсюда следует, что задаваемая погрешность метода .

1.3 Ìåòîä áëî÷íîé ðåëàêñàöèè

Èñõîäíàÿ ìàòðèöà ðàçáèâàåòñÿ íà áëîêè (â ðàìêàõ ëàáîðàòîðíîé ðàáîòû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà ðàçáèâàåòñÿ íà êâàäðàòíûå áëîêè ðàâíîé ðàçìåðíîñòè). Âåêòîð ïðàâîé ÷àñòè è âåêòîð íåèçâåñòíûõ ðàçáèâàþòñÿ íà áëîê-âåêòîðû ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè. Íàïðèìåð, äëÿ ðàçìåðà áëîêà ðàâíîãî äâóì, ïîëó÷àåì:

(1.49)

ãäå

	(1.50)
	(1.51)
	(1.52)

Çàïèøåì ôîðìóëó äëÿ áëîêîâ ìàòðèöû è áëîê-âåêòîðîâ è :

(1.53)

Îáîçíà÷èì

	(1.54)
	(1.55)

Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ (1.54) è (1.55) â (1.53) è óìíîæàÿ ñëåâà íà , äëÿ êàæäîãî áëîê-âåêòîðà ïîëó÷àåì ÑËÀÓ:

(1.56)

Ðåøåíèå ïîëó÷åííûõ ñèñòåì (1.56) ðåêîìåíäóåòñÿ âûïîëíÿòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ôàêòîðèçàöèè ìàòðèöû , ïðè÷¸ì ôàêòîðèçàöèþ ñëåäóåò âûïîëíÿòü 1 ðàç ïåðåä ïåðâîé èòåðàöèåé.

2. ÐÀÇÁÎÐ ÌÅÒÎÄÀ ÐÅËÀÊÑÀÖÈÉ Â ÑÈÑÒÅÌÀÕ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÍÀ ÏÐÈÌÅÐÅ

ПРИМЕР: решить методом релаксаций данную систему

(2.1)

Вычисления производить с точностью до двух знаков после запятой.