Курсовая работа: Метод векторів та його застосування

Доведення: Нехай =, =, тоді за правилом трикутника +=+==.

З наведених властивостей додавання векторів випливає, що операція додавання векторів має ті ж властивості, що й операція додавання чисел. Тому часто при перетворенні сум векторів діємо так само, як і при перетворенні числових виразів: (+)+=+(+)=(+)+=(+).

Сума більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника. Щоб знайти суму n векторів (мал. 9), потрібно з довільної точки O відкласти вектор =, з його кінця – вектор =,…,= (початок кожного наступного вектора-доданка є кінцем попереднього). Вектор = буде сумою даних векторів.

Віднімання векторів

Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання. Означення. Різницею векторів і називається такий вектор , який в сумі з вектором дає вектор : -=якщо +=. /1/

Доведемо, що вектор існує і притому єдиний. Припустимо, що вектор існує. Тоді, додавши до обох частин рівності вектор (-) і користуючись властивостями суми векторів, маємо: (-)++=(-)+. /2/

Отже, якщо вектор існує, то він визначається попередньою рівністю /2/, а тому єдиний. Дійсно, підставивши /2/ в /1/, одержимо правильну рівність: ++(-)=.

Отже, вектор, який визначається формулою /2/, є різницею векторів і : -=+(-)=. За правилом трикутника +=. Звідси
=- (мал. 10).

Отже, для побудови різниці векторів і досить відкласти ці вектори від спільного початку (=,=) і провести вектор від кінця B вектора-від’ємника до кінця C вектора-зменшуваного; цей вектор і є шуканою різницею -: =-.

Множення вектора на число

Означення. Добутком вектора на дійсне число α називається вектор , який задовольняє такі умови:

1) =*;

2) , якщо α >0, і , якщо α <0.

Такий вектор позначається = α .

Операція добутку вектора на число має такі властивості.

Властивість 1. α*=0*= для будь-якого дійсного числа α і будь-якого вектора . Ця властивість випливає з умови 1) означення.

Властивість 2. Для будь-якого вектора 1*=; -1*=-. Ця властивість випливає безпосередньо з означення.

Властивість 3. Для будь-якого вектора і будь-яких дійсних чисел α і β: α(β)=(αβ) .

Доведення. Нехай α(β)=, (αβ) =. Доведемо, що =. Маємо:

=*=**,

=*=**.

Отже, =. Покажемо, що . Якщо α і β одного знаку, то вектор однаково напрямлений з і однаково напрямлений з .Отже, . У випадку коли числа α і β протилежних знаків, , . Отже, також , що й треба було довести.

Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто α(+)=α+α, для , і α R.

Доведення. Нехай α > 0. Відкладемо вектори =, =, =α, =α (мал. 11). Тоді +=, α+α=. Покажемо, що =α. Оскільки вектори і α , і α відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і у трикутників OAB і рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні: . Тому OAB ~ . Звідси випливає, що OAB = , а це означає, що промені OB і збігаються, тобто . Крім того =α*=*. Тому =α*.