Курсовая работа: Метод векторів та його застосування

Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α (+) = α+α.

Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β)=α+β, і α, β R.

Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).

1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β) і α+β однаково напрямлені. Крім того,

;

.

Отже, і вектори (α+β) та α+β рівні.

2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β)=(-β+β)=0=0; α+β= -β+ β=0, отже, властивість справджується.

Якщо α-β, тоді –α, α+β або –β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β одного знаку. Тоді за доведеним (-α)+ (α+β)=(-α+α+β)=β(α+β)= α+β, що і треба було довести.

2. Колінеарність векторів

Означення. Два ненульових вектори і називається колінеарними , якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.

Позначення: ||(мал. 13).

Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.

Теорема . (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що =α. /1/

Доведення.

1. Необхідність. Нехай ||. Тоді або , або . Якщо , то =, оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: ==. Позначивши α =, дістанемо =α. Якщо , то аналогічно доводиться, що = -. Нехай α = -, тоді також = α.

2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.

Зауваження 1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.

Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів і завжди існує тільки одне число α таке, що = α , то звідси формально можна написати: α =, тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.

Відношення : двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком «плюс», якщо вектори і однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.

3. Компланарність векторів

Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними

якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори ,, відкласти від довільної точки O (=, =,=), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.

Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори ,, компланарні, а вектори , неколінеарні, то існують єдині числа α, β такі, що: = α + β. /2/

Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторами і і до того ж єдиним способом.

Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =, =. Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори і неколінеарні, тому O , A , B не лежать на одній прям?