Курсовая работа: Метод векторів та його застосування
Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α (+
) = α
+α
.
Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β)=α
+β
,
і α, β
R.
Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).
1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β) і α
+β
однаково напрямлені. Крім того,
;
.
Отже, і вектори (α+β)
та α
+β
рівні.
2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β)=(-β+β)
=0
=0; α
+β
= -β
+ β
=0, отже, властивість справджується.
Якщо α-β, тоді –α, α+β або –β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β одного знаку. Тоді за доведеним (-α)
+ (α+β)
=(-α+α+β)
=β
(α+β)
= α
+β
, що і треба було довести.
2. Колінеарність векторів
Означення. Два ненульових вектори і
називається колінеарними , якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.
Позначення: ||
(мал. 13).
Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.
Теорема . (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори і
колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що
=α
. /1/
Доведення.
1. Необхідність. Нехай ||
. Тоді або
, або
. Якщо
, то
=
, оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі:
=
=
. Позначивши α =
, дістанемо
=α
. Якщо
, то аналогічно доводиться, що
= -
. Нехай α = -
, тоді також
= α
.
2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді і
або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.
Зауваження 1. Якщо = 0,
0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.
Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів і
завжди існує тільки одне число α таке, що
= α
, то звідси формально можна написати: α =
, тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.
Відношення :
двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор
, щоб дістати вектор
. Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком «плюс», якщо вектори
і
однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.
3. Компланарність векторів
Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними
якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.
Очевидно, що коли компланарні вектори ,
,
відкласти від довільної точки O (
=
,
=
,
=
), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).
Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.
Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.
Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори ,
,
компланарні, а вектори
,
неколінеарні, то існують єдині числа α, β такі, що:
= α
+ β
. /2/
Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторами
і
і до того ж єдиним способом.
Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =
,
=
,
=
. Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори
і
неколінеарні, тому O , A , B не лежать на одній прям?