Курсовая работа: Методика вивчення логарифмічних рівнянь і нерівностей у старшій школі з використанням мультимедійних засобів навчання

Звідки або .

Тоді або . Отже,

або .

Оскільки ці значення входять до області визначення, то і - корені даного рівняння.

Підводячи підсумки розв’язування цього рівняння, бажано звернути увагу учнів на те, що в цьому рівнянні (в його лівій частині) змінна входить і в основу, і в показник степеня. Доцільно зафіксувати в зошитах учнів, що рівняння, в якому змінна входить і в основу, і в показник степеня, найчастіше розв’язується логарифмуванням обох частин рівняння.

Слово «найчастіше» присутнє в наведеному правилі в зв’язку з рівняннями типу:

.

На його області визначення це рівняння рівносильне рівнянню:

,

яке за основною логарифмічною тотожністю рівносильне (на області визначення) рівнянню

.

Звідси (не входить до області визначення) або (входить до області визначення і є коренем).

Після відпрацювання цього правилу на прикладах доцільно запропонувати учням більш загальний підхід (він, як правило, використовується тоді, коли немає можливості взяти логарифм від обох частин рівняння) - перехід від степеня, в основі якого стоїть вираз із змінною, до степеня з числовою основою за формулою

, де , .

Зауваження. Очевидно, що при цю формулу можна застосовувати як зліва направо, так справа наліво. Якщо ми використаємо цю формулу при розв’язуванні рівняння, на області визначення якого , то ми гарантуємо і прямі, і обернені перетворення, тобто гарантуємо рівносильність утвореного рівняння на області визначення даного.

Необхідно звернути увагу учнів на те, що ідея логарифмування обох частин рівняння (або нерівності) є досить плідною і може використовуватись для розв’язування різних типів рівнянь (нерівностей), починаючи з найпростіших показникових типу (за означенням логарифма або прологарифмувавши обидві частини за основою 2, маємо:

, тобто ).

Враховуючи те, що в останні 40-50 років у старших класах середньої школи реалізується функціональний підхід до рівняння, будемо вважати, що степені, в яких і основа, і показник степеня є функціями від змінної величини, означені тільки для тих значень змінних, при яких їх основи додатні (якщо в самій умові задачі не сказано протилежне).

3.2 Логарифмічні нерівності

Розв’язуючи логарифмічні нерівності, доцільно використати загальну схему рівносильних перетворень нерівностей. Ця схема іноді дає надмірну систему обмежень, яку можна суттєво спростити. Для рівносильності рівнянь надмірність системи обмежень майже не впливає на об’єм роботи щодо розв’язування цих рівнянь - можна не знаходити відповідні значення змінної з цих обмежень, а тільки перевіряти для кожного знайденого кореня. Розв’язком нерівності, як правило, є інтервал (або кілька інтервалів), які містять нескінчену множину чисел, а всі їх перевірити неможливо. Отже для розв’язування нерівності доведеться знаходити відповідні значення змінної з усіх записаних обмежень, і тому чим менше залишиться цих обмежень, тим краще. Бажано запропонувати учням не знаходити окремо область визначення нерівності, а спочатку записувати повну систему обмежень і рівносильну нерівність, а потім намагатися спростити утворену систему.

Приклад: Розв’язати нерівність

Розв’язання: Оскільки , то . Тоді функція - спадна, і наша нерівність рівносильна системі:

Нерівність (2) є наслідком нерівностей (3) і (1) . Отже, ця система рівносильна системі, що складається тільки з нерівностей (1) і (3), тобто

Розв’язуючи окремо нерівності (1) і (3), дістаємо: для

(1) - ;