Курсовая работа: Методы решения задачи о рюкзаке

Каждый предмет можно брать только один раз. Формализуем. Пусть задано конечное множество предметов , для каждого , определена стоимость p_i и вес w_i , тогда нужно максимизировать , при ограничениях , где W-вместимость ранца, а x_i =1, если предмет взят для загрузки и x_i =0 если не взят. Если на размер рюкзака имеется только одно ограничение, то задача называется одномерной, в противном случае – многомерной.

Каждый предмет можно брать m раз. Формализация аналогична, разница лишь в том, что x_i принимает значения на интервале (0..m).

Каждый предмет можно брать неограниченное количество раз. Очевидно, что x_i лежит в диапазоне (0..[W/w_i ]) квадратные скобочки означают целую часть числа. [6]

Если же значения весов и цен предметов не целые числа, такая задача будет называться непрерывной задачей о рюкзаке, если же числа целые, то соответственно дискретной. Например, если мы имеем дело с золотыми слитками, мы не можем их делить – это дискретная задача, а если с золотым песком, то это непрерывная задача о рюкзаке.

1.2 NP – полнота задачи

Большинство используемых алгоритмов имеют полиномиальное время работы, если размер входных данных – n, то время их работы в худшем случае оценивается как где k это константа. Но встречаются задачи, которые нельзя разрешить за полиномиальное время. Это класс NP - полных задач. Некоторые задачи этого класса на первый взгляд аналогичны задачам разрешимым за полиномиальное время, но это далеко не так. Задача называется NP - полной, если для нее не существует полиномиального алгоритма.[3] Алгоритм называется полиномиальным, если его сложность O(N) в худшем случае ограничена сверху некоторым многочленом (полиномом) от N. Такие задачи возникают очень часто в различных областях: в булевой логике, в теории графов, теории множеств, кодировании информации, в алгебре, в биологии, физике, экономике, теории автоматов и языков. Считается что NP - полные задачи очень трудноразрешимы, а так же, что если хотя бы для одной из них удастся найти полиномиальный алгоритм, то такой алгоритм будет существовать для любой задачи из этого класса. Над поиском полиномиальных алгоритмов к таким задачам трудились многие ученые, и все же и все же при таком разнообразии NP - полных задач, ни для одной из них до сих пор не найдено полиномиального алгоритма.[10]. Из всего вышесказанного следует, что если известна NP - полнота задачи, то лучше потратить время на построение приближенного алгоритма, чем пытаться построить полиномиальный, или же, если это позволяют условия, использовать алгоритмы с экспоненциальной сложностью работы

Глава 2 Методы решения задачи о рюкзаке

2.1 Классификация методов

На практике очень часто возникают NP-полные задачи, задач о рюкзаке – одна из них . Конечно надежд, на то что для них найдется полиномиальный алгоритм практически нет, но из этого не следует что с задачей нельзя ничего сделать. Во первых, очень часто удается построить полиномиальный алгоритм для NP – полной задачи, конечно он даст приближенное, а не точное решение, но зато будет работать за реальное время. Во вторых, данные могут быть таковы, что экспоненциальный алгоритм, например переборный сможет работать на них разумное время. К точным методам относятся: Полный перебор, метод ветвей и границ, ДП – программирование. К приближенным: Жадные алгоритмы. Полный перебор – перебор всех вариантов (всех состояний) –малоэффективный, но точный метод. Метод ветвей и границ – по сути сокращение полного перебора с отсечением заведомо “плохих” решений. ДП – алгоритм, основанный на принципе оптимальности Беллмана. Жадный алгоритм – основан на нахождении относительно хорошего и “дешевого” решения.

2.2 Динамическое программирование

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана:”Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбирать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на этом шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был оптимальным”. Проще говоря оптимальное решение на i шаге находится исходя из найденных ранее оптимальных решений на предшествующих шагах. Из этого следует, что для того чтобы найти оптимальное решение на последнем шаге надо сначала найти оптимальное решения для первого, затем для второго и так далее пока не пройдем все шаги до последнего.

Имеется набор из N предметов. Пусть MaxW - объем рюкзака, P_i – стоимость i-го предмета, W_i – вес i-го предмета. Value [W, i] – максимальная сумма, которую надо найти. Суть метода динамического программирования – на каждом шаге по весу 1<W_i <W находим максимальную загрузку Value[W_i , i], для веса W_i . Допустим мы уже нашли Value[1..W, 1..i-1], то есть для веса меньше либо равного W и с предметами, взятыми из 1..N-1. Рассмотрим предмет N, если его вес W_N меньше W проверим стоит ли его брать.

Если его взять то вес станет W-W_i , тогда Value[W, i] = Value[W – W_i , i-1] + P_i (для Value[W – W_i , i-1]) решение уже найдено остается только прибавить P_{i .}

Если его не брать то вес останется тем же и Value[W , i] = Value[W – Wi , i-1]. =Из двух вариантов выбирается тот, который дает наибольший результат. Рассмотрим алгоритм подробнее.

Рис 1.1

-

Рис 1.2

Рис 1.3

Динамическое программирование для задачи о рюкзаке дает точное решение, причем одновременно вычисляются решения для всех размеров рюкзака от 1 до MaxW, но какой ценой? Для хранения таблицы стоимости и запоминания того, брался каждый предмет или нет, требуется порядка O(N*MaxW) памяти, временная сложность равна O(N*MaxW) ;

Опишем основную логику решения: {Загружаем рюкзак если его вместимость = Weight} for Weight:=1 to MaxWdo begin

for i:=1 to N do {берем предметы с 1 по N}

{если вес предмета больше Weight}

{или предыдущий набор лучше выбираемого}

if (W[i]>Weight) or (Value[Weight, i-1] >=

Value[Weight-W[i], i-1]+P[i]) then begin

{Тогдаберемпредыдущийнабор}

Value[Weight, i]:=Value[Weight, i-1];

{говорим что вещь i не взята}

Take [Weight, i]:= false;

End

{иначе добавляем к предыдущему набору текущий

предмет}

Else begin

Value [Weight, i]:=Value [Weight - W[i], i-1]

+P[i];

{говорим что вещь i взята}

Take [Weight, i]:= true;