Курсовая работа: Многочлены над кольцом классов вычетов
3. Кольцо многочленов над областью целостности.
Далее будем рассматривать только многочлены с коэффициентами из области целостности K (кольцо без делителей нуля называют областью целостности), т.е. из кольца K, в котором произведение двух элементов может равняться нулю, если только один из сомножителей равен нулю. Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено специально.
При произведении многочленов 
степени n и 
степени m старший член, как следует из формулы (2), равен 
(это коэффициент при 
). Так как в кольце нет делителей нуля, то 
и, значит, 
. Из нашего рассуждения следует также, что
. (6)
Эта формула является уточнением неравенства (5) для случая, когда в кольце K нет делителей нуля. Формула (6) также справедлива и тогда, когда один из многочленов f(x), g(x) или они оба равны нулю. Итак, произведение двух ненулевых многочленов - ненулевой многочлен, поэтому справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.
Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K.
Пусть 
- многочлен с коэффициентами из K. Для любого 
положим
, (7)
где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент 
называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем 
, когда x0 можно представлять как точку действительной оси.) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.
Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются с обычными операциями, производимыми над функциями, когда складываются или, соответственно, перемножаются значения функций в каждой точке.
Рассмотрим два многочлена: 
, 
. Пусть h(x) = f(x) + g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0)= =f(x0) + g(x0) для любого . В соответствии с формулой (1) 
= 
, где 
, что и требовалось доказать.
Пусть теперь 
- произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что 
для любого . Перемножим равенства 
, 
. Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: 
, где 
. Сравнение полученного результата с формулой (2) позволяет сделать вывод, что 
.
Таким образом, функция, определяемая суммой (соответственно произведением) двух многочленов, есть сумма (соответственно произведение) функций, определяемых этими многочленами.
Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K[x] всегда соответствуют различные функции.
4. Схема Горнера и теорема Безу.
В кольце многочленов деление в обычном смысле слова, как правило, невозможно. Например, в кольце 
многочлен x2 нельзя разделить на x + 1, т.е. не существует такого многочлена g(x), что x2 = g(x)(x + 1) (если бы такой многочлен существовал, то при x = -1 мы получили бы невозможное равенство 
).
Если для полиномов f(x) и g(x) из K[x] существует такой полином 
, что f(x) = g(x)h(x), то говорят, что полином f(x) делится на полином g(x). Наша ближайшая задача заключается в выяснении вопроса о делимости 
на линейный двучлен x - c при 
.
Прежде всего установим, что всегда осуществимо так называемое деление с остатком: 
при 
. Здесь полином h(x) называется неполным частным, а r - остатком.
Теорема 2. Пусть 
и 
. Найдутся полином 
и элемент такие, что 
. При этом 
.
Доказательство. Естественно искать h(x) в форме 
. Сравнение коэффициентов многочлена в левой части равенства 
= =
с коэффициентами многочлена, полученного после раскрытия скобок и приведения подобных, в правой части этого равенства приводит к цепочке равенств
откуда последовательно определяют коэффициенты h(x) и остаток r:
(8)
Равенство непосредственно следует из равенства 
после подстановки в последнее вместо x элемент c.
Теорема доказана. Кроме того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов h(x) и остатка r. Этот способ носит название схемы Горнера. Вычисления удобно располагать в виде таблицы:
|
a0 |
a1 |
a2 |
К-во Просмотров: 400
Бесплатно скачать Курсовая работа: Многочлены над кольцом классов вычетов
|