Наконец, можно запрограммировать звуковые сигналы, которые подаются через каждый фиксированный отрезок пути, пройденный телом — скажем, через каждый метр или каждые 100 метров — смотря по конкретным обстоятельствам. Надо выбрать интервал так, чтобы вначале сигналы были редкими, а потом, с ростом скорости, сигнал слышался все чаще, пока промежутки не сравняются. Таким образом, восприятию помогают элементы мультимедиа. Поле для фантазии здесь велико.

Приведем конкретный пример решения задачи о свободно падающем теле. Герой знаменитого фильма “Небесный тихоход” майор Булочкин, упав с высоты 6000 м в реку без парашюта, не только остался жив, но даже смог снова летать. Попробуем понять, возможно, ли такое на самом деле или же подобное случается только в кино. Учитывая сказанное выше о математическом характере задачи, выберем путь численного моделирования. Итак, математическая модель выражается системой дифференциальных уравнений.

(8)

Разумеется, это не только абстрактное выражение обсуждаемой физической ситуации, но и сильно идеализированное, т.е. ранжирование факторов перед построением математической модели произведено. Обсудим, нельзя ли произвести дополнительное ранжирование уже в рамках самой математической модели с учетом конкретно решаемой задачи, а именно — будет ли влиять на полет парашютиста линейная часть силы сопротивления и стоит ли ее учитывать при моделировании.

Так как постановка задачи должна быть конкретной, мы примем соглашение, каким образом падает человек. Он опытный летчик и наверняка совершал раньше прыжки с парашютом, поэтому, стремясь уменьшить скорость, он падает не “солдатиком”, а лицом вниз, “лежа”, раскинув руки в стороны. Рост человека возьмем средний — 1,7 м, а полуобхват грудной клетки выберем в качестве характерного расстояния — это приблизительно 0,4 м. для оценки порядка величины линейной составляющей силы сопротивления воспользуемся формулой Стокса. Для оценки квадратичной составляющей силы сопротивления мы должны определиться со значениями коэффициента лобового сопротивления и площадью тела. Выберем в качестве коэффициента число с=1,2 как среднее между коэффициентами для диска и для полусферы (выбор дня качественной оценки правдоподобен). Оценим площадь: S = 1,7 ∙ 0,4 = 0,7(м2).

В физических задачах на движение фундаментальную роль играет второй закон Ньютона. Он гласит, что ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе (если их несколько, то равнодействующей, т.е. векторной сумме сил) и обратно пропорционально его массе:

.

Так для свободно падающего тела под действием только собственной массы закон Ньютона примет вид:

Или в дифференциальном виде:

Взяв интеграл от этого выражения, получим зависимость скорости от времени:

Если в начальный момент V0 = 0, тогда .

Далее определим зависимость высоты от времени, для чего проинтегрируем последнее выражение.

.

Выясним, при какой скорости сравняются линейная и квадратичная составляющие силы сопротивления. Обозначим эту скорость Тогда

или

Ясно, что практически с самого начала скорость падения майора Булочкина гораздо больше, и поэтому линейной составляющей силы сопротивления можно пренебречь, оставив лишь квадратичную составляющую.

После оценки всех параметров можно приступить к численному решению задачи. При этом следует воспользоваться любым из известных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений: методом Эйлера, одним из методов группы Рунге — Кутта или одним из многочисленных неявных методов. Разумеется, у них разная устойчивость, эффективность и т.д. — эти сугубо математические проблемы здесь не обсуждаются.

Вычисления производятся до тех пор, пока не опустится на воду. Примерно через 15 с после начала полета скорость становится постоянной и остается такой до приземления. Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально меняет характер движения. При отказе от его учета график скорости, изображенный на рисунке 2, заменился бы касательной к нему в начале координат.

Рис. 2. График зависимости скорости падения от времени

2. Формулировка математической модели и ее описание

парашютист падение сопротивление математическая модель

При построении математической модели необходимо соблюдение следующих условий:

- манекен массой 50 кг соответственно падают в воздухе с плотностью 1,225 кг/м3;

- на движение влияют только силы линейного и квадратичного сопротивления;

- площадь сечения тела S=0.4 м2;

Тогда для свободно падающего тела под действием сил сопротивления закон Ньютона примет вид:

,

где a – ускорение тела, м/с2,

m – его масса, кг,

g – ускорение свободного падения на земле, g = 9,8 м/с2,

v – скорость тела, м/c,

k1 – линейный коэффициент пропорциональности, примем k1 = β = 6πμl (μ – динамическая вязкость среды, для воздуха μ = 0,0182 Н.с.м-2; l – эффективная длина, примем для среднестатистического человека при росте 1,7 м и соответствующем обхвате грудной клетки l = 0,4 м),

k2 – квадратичный коэффициент пропорциональности. K2 = α = С2ρS. В данном случае достоверно можно узнать лишь плотность воздуха, а площадь манекена S и коэффициент лобового сопротивления С2 для него определить сложно, можно воспользоваться полученными экспериментальными данными и принять K2 = α = 0,2.

Тогда получим закон Ньютона в дифференциальном виде:

Так как

Тогда можно составить систему дифференциальных уравнений: