Курсовая работа: Моделирование систем массового обслуживания

Для описания процессов с непрерывным временем используется модель в виде так называемой марковской цепи с дискретными состояниями системы, или непрерывной марковской цепью.

Глава II . Уравнения описывающие системы массового обслуживания

2.1 Уравнения Колмогорова

Рассмотрим математическое описание марковского случайного процесса с дискретными состояниями системы S_o , S_{l ,} S₂ (см. рис. 6.2.1) и непрерывным временем. Полагаем, что все переходы системы массового обслуживания из состояния S_i в состояние Sjпроисходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями λ_ij , а обратный переход под воздействием другого потока λ_ij ,. Введем обозначение p_i как вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S_{i .} Для любого момента времени tсправедливо записать нормировочное условие—сумма вероятностей всех состояний равна 1:

₂

Σp_i (t)=p₀ (t)+ p₁ (t)+ p₂ (t)=1

^{i =0}

Проведем анализ системы в момент времени t, задав малое приращение времени Δt, и найдем вероятность р₁ (t+ Δt) того, что система в момент времени (t+ Δt) будет находиться в состоянии S₁ которое достигается разными вариантами:

а) система в момент t с вероятностью p₁ (t) находилась в состоянии S₁ и за малое приращение времени Δt так и не перешла в другое соседнее состояние — ни в S₀ , ни bS₂ . Вывести систему из состояния S₁ можно суммарным простейшим потоком c интенсивностью (λ₁₀ +λ₁₂ ), поскольку суперпозиция простейших потоков также является простейшим потоком. На этом основании вероятность выхода из состояния S₁ за малый промежуток времени Δtприближенно равна (λ₁₀ +λ₁₂ )* Δt. Тогда вероятность невыхода из этого состояния равна [1 -(λ₁₀ +λ₁₂ )* Δt].Bсоответствии с этим вероятность того, что система останется в состоянии Siна основании теоремы умножения вероятностей, равна:

p₁ (t) [1 -(λ₁₀ +λ₁₂ )* Δt];

б)система находилась в соседнем состоянии S_o и за малое время Δt перешла в состояние S_o Переход системы происходит под воздействием потока λ₀₁ с вероятностью, приближенно равной λ₀₁ Δt

Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₁ , в этом варианте равна p_o (t)λ₀₁ Δt;

в) система находилась в состоянии S₂ и за время Δt перешла в состояние S₁ под воздействием потока интенсивностью λ₂₁ с вероятностью, приближенно равной λ₂₁ Δt. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₁ , равна p₂ (t) λ₂₁ Δt.

Применяя теорему сложения вероятностей для этих вариантов, получим выражение:

p₂ (t+Δt)= p₁ (t) [1 -(λ₁₀ +λ₁₂ )* Δt]+ p_o (t)λ₀₁ Δt+p₂ (t) λ₂₁ Δt ,

которое можно записать иначе:

p₂ (t+Δt)-p₁ (t)/ Δt= p_o (t)λ₀₁ + p₂ (t) λ₂₁ - p₁ (t) (λ₁₀ +λ₁₂ ) .

Переходя к пределу при Δt-> 0, приближенные равенства перейдут в точные, и тогда получим производную первого порядка

dp₂ /dt= p₀ λ₀₁ +p₂ λ₂₁ -p₁ (λ₁₀ +λ₁₂ ) ,

что является дифференциальным уравнением.

Проводя рассуждения аналогичным образом для всех других состояний системы, получим систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н. Колмогорова:

dp₀ /dt= p₁ λ₁₀ ,

dp₁ /dt= p₀ λ₀₁ +p₂ λ₂₁ -p₁ (λ₁₀ +λ₁₂ ) ,

dp₂ /dt= p₁ λ₁₂ +p₂ λ_{21 .}

Для составления уравнений Колмогорова существуют общие правила.

Уравнения Колмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО S_i в функции времени p_i (t). В теории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно, а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднюю относительную величину времени пребывания системы, в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния S₀ – равна p₀ ⁼ 0,2, то, следовательно, в среднем 20% времени, или 1/5 рабочего времени, система находится в состоянии S_o . Например, при отсутствии заявок на обслуживание к = 0, р₀ = 0,2,; следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии S_o и простаивает, если продолжительность рабочего дня составляет 10 ч.

Поскольку предельные вероятности системы постоянны, то заменив в уравнениях Колмогорова соответствующие производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО. Такую систему уравнений составляют по размеченному графу состояний СМО по следующим правилам: слева от знака равенств?