Курсовая работа: Моделювання оптимальної стратегії заміни обладнання за допомогою динамічного програмування

F₁ (X^(n-1) =max[W_n (X^(n-1) , u_n )+F₀ (X⁽ⁿ⁾ )] (1.4)

u_n

У цьому рівнянні F₀ (X⁽ⁿ⁾ ) будемо вважати відомим. Використовуючи тепер рівняння (1.4) і розглядаючи всілякі припустимі із системи S на (n-1) – м кроці X₁ ^(n-1) , X₂ ^(n-1) ,…, X_m ^(n-1) ,…, знаходимо умовні оптимальні рішення u_n ⁰ (x₁ ^{( n -1)} ), u_n ⁰ (x₂ ^{( n -1)} ),…, u_n ⁰ (x_m ^{( n -1)} ),…

і відповідні значення функції (1.4)

F₁ ⁰ (X₁ ^{( n -1)} ), F₁ ⁰ (X₂ ^{( n -1)} ), …, F₁ ⁰ (X_m ^{( n -1)} ),…

Таким чином, на n-м кроці знаходимо умовно оптимальне керування при будь-якому припустимому стані системи S після (n-1) – го кроку. Тобто, у якому би стані система не виявилася після (n-1) – го кроку, буде відомо, яке варто прийняти рішення на n-м кроці. Відомо також і відповідне значення функції (2.4). Розглянемо функціональне рівняння при k=n-2:

F₂ (X^(n-1) )=max[W_n-1 (X^(n-2) , u_n-1 )+F₁ (X^(n-1) )] (1.5)

U_{n -1}

Для того щоб знайти значення F₂ для всіх припустимих значень X^(n-2), необхідно знати W_n-1 (X^(n-2), u_n-1 ) і F₁ (X^(n-1) ). Що стосується значень F₁ (X^(n-1) ), те вони вже визначені. Тому потрібно зробити обчислення для W_n-1 (X^(n-2) , u_n-1 ) при деякому відборі припустимих значень X^(n-2) і відповідних керувань u_n-1 . Ці обчислення дозволять визначити умовно оптимальне керування u0n-1 для кожного X^(n-2) . Кожне з таких керувань разом із уже обраним керуванням на останньому кроці забезпечує максимальне значення доходу на двох останніх кроках.

Послідовно здійснюючи описаний вище ітераційний процес, дійдемо до першого кроку. На цьому кроці відомо, у якому стані може перебувати система. Тому вже не потрібно робити припущень про припустимі стани системи, а залишається як тільки вибрати керування, що є найкращим з обліком умовно оптимальних керувань, уже прийнятих на всіх наступних кроках.

Таким чином, у результаті послідовного проходження всіх етапів від кінця до початку визначається максимальне значення виграшу за n кроків і для кожного з них знаходимо умовно оптимальне керування.

Щоб знайти оптимальну стратегію керування, тобто визначити шукане рішення завдання, потрібно тепер пройти всю послідовність кроків, тільки цього разу від початку до кінця. А саме: на першому кроці як оптимальне керування u₁ * візьмемо знайдене умовно оптимальне керування u₁ ⁰ . На другому кроці знайдемо стан X₁ *, у яке переводить систему керування u₁ *. Цей стан визначає знайдене умовно оптимальне u₂ ⁰ , що тепер уважається оптимальним. Знаючи u₂ *, знаходимо X₂ *, а виходить, визначаємо u₃ * і т.д. У результаті цього найдеться рішення завдання, тобто максимально можливий доход й оптимальну стратегію керування U*, що включає оптимальні керування на окремих кроках: U*= (u₁ *, u₂ *,…, u_n *).

Отже, зі знаходження рішення завдання динамічного програмування видно, що цей процес є досить громіздким. Тому більше складні завдання вирішують за допомогою ЕОМ.

Динамічне завдання по заміні встаткування можливо також вирішити й графічним методом. На осі Х відкладають номер кроку (к). на осі В – вік устаткування (t). Крапка (до-1; t) на площині відповідає початку К-ого кроку по експлуатації встаткування у віці t років.

Будь-яка траєкторія переводящая крапку S (k-1; t) зі стану S0 S. Складається з відрізків, тобто із кроків відповідним рокам експлуатації. Потрібно вибрати таку траєкторію при якій витрати на експлуатацію будуть мінімальні. Якщо відомі залежність продуктивності встановленого на підприємстві встаткування від часу його використання R(t) і залежність витрат на ремонт устаткування при різному часі його використання S(t) і витрати пов'язані із придбанням нового обладнання, то показником ефективності в цьому випадку є прибуток яка максимізується.

2. Застосування динамічного програмування в економічних дослідженнях

програмування економічний дослідження динамічний

В економічних дослідженнях здавна застосовувалися найпростіші математичні методи. У господарському житті широко використаються геометричні формули. Так, площа ділянки поля визначається шляхом перемножування довжини на ширину або обсяг силосної траншеї – перемножуванням довжини на середню ширину й глибину. Існує цілий ряд формул і таблиць, що полегшують господарським працівникам визначення тих або інших величин.

Застосування арифметики, алгебри в економічних дослідженнях, є вже питанням про культуру дослідження, кожен поважаючий себе економіст володіє такими навичками. Особняком тут стоять так звані методи оптимізації, частіше називаються як економіко-математичні методи.

В 60-і роки нашого сторіччя розгорнулася дискусія про математичні методи в економіці. Наприклад, академік Немчинов виділяв п'ять базових методів дослідження при плануванні:

1) балансовий метод;

2) метод математичного моделювання;

3) векторно-матричний метод;

4) метод економіко-математичних множників (оптимальних суспільних оцінок);

5) метод послідовного наближення.

У той же час академік Канторович виділяв математичні методи в чотири групи:

– макроекономічні моделі, куди відносив балансовий метод і моделі попиту;

– моделі взаємодії економічних підрозділів (на основі теорії ігор);

– лінійне моделювання, включаючи ряд завдань, що небагато відрізняються від класичного лінійного програмування;