Курсовая работа: Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)
Возьмем за начальную точку , тогда
-2.3;
-2.034615;
-2.000579;
-2.0.
Таким образом, корень уравнения
равен -2.
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Описание метода
Пусть корень x уравнения отделен на отрезке [a, b], причем
и
непрерывны и сохраняют определенные знаки при
. Если на некотором произвольном шаге n найдено приближенное значение корня
,
то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим
, (1)
где считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим:
.
Следовательно,
.
Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня
. (2)
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что
при
и
(рисунок 1).
Выберем, например, , для которого
. Проведем касательную к кривой
в точке B0 с координатами
.
Рисунок 1. Геометрически показан метод Ньютона
В качестве первого приближения корня x возьмем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Через точку
снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение
корня x и т.д.
Формулу для уточнения корня можно получить из прямоугольного треугольника , образованного касательной, проведенной в точке B0 , осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки
.
Имеем
.
Так как угол a образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е.
.