Курсовая работа: Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)

или для любого шага n

.

В качестве начальной точки можно принять либо один из концов отрезка [a, b], либо точку внутри этого интервала. В первом случае рекомендуется выбирать ту границу, где выполняется условие

,

т.е. функция и ее вторая производная в точке должны быть одного знака.

В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия

.

Как следует из последнего неравенства, требуется при расчете запоминать три значения аргумента . В практических инженерных расчетах часто применяют сравнение аргументов на текущей и предыдущей итерациях:

.

При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений для корня x. Если удается получить аналитическое выражение для производной, то ее вычисление, а также вычисление можно оформить в виде функций.

2.2 Недостатки метода

Пусть

.

Тогда

.

Возьмём нуль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст нуль. Метод зациклится, и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным.

Рисунок 2. Иллюстрация расхождения метода Ньютона, примененного к функции с начальным приближением в точке

Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.

Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.

Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

Пусть

.

Тогда и следовательно . Таким образом сходимость метода не квадратичная, а линейная, хотя функция всюду бесконечно дифференцируема.

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3, 4.

Условные обозначения:

·FUNCTN, FX – функция;