Курсовая работа: О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1

Оглавление

1. Введение

2. Основные понятия и обозначения

3. Используемые результаты

4. Основной результат

5 Заключение

Литература

1. Введение

Работа посвящена изучению решеточного строения частично насыщенных формаций конечных групп. Основным рабочим инструментом исследования является понятие H-дефекта ω -насыщенной формации. При этом, под H-дефектом ω -насыщенной формации F понимают длину решетки ω -насыщенных формаций, заключенных между формацией FH и F.

В случае, когда H – формация всех -разложимых групп, H-дефект ω -насыщенной формации F называют ее -разложимым l^ω -дефектом. Доказано, что -разложимый l^ω -дефект частично насыщенной формации F равен 1 в том и только в том случае, когда F представима в виде решеточного объединения минимальной ω -насыщенной не -разложимой подформации и некоторой ω -насыщенной -разложимой подформации формации F. Приведен ряд следствий.

Полученные результаты являются естественным развитием исследований, связанных с изучением решеточного строения частично насыщенных формаций, имеющих заданный нильпотентный или разрешимый l^ω -дефекты. Работа может быть полезна при изучении и классификации ω -насыщенных формаций с заданной структурой ω -насыщенных подформаций.

Рассматриваются только конечные группы. Используется терминология из [1–3].

В работе [4] было введено понятие H-дефекта насыщенной формации и получена классификация насыщенных формаций с нильпотентным дефектом 2. При этом под H-дефектом насыщенной формации F понимают длину решетки насыщенных формаций, заключенных между FH и F.

В дальнейшем этот результат получил развитие в разных направлениях, поскольку нашел широкое применение в теоретических исследованиях. Содной стороны, в качестве H стали рассматривать другие достаточно хорошо известные классы (А.Н.Скиба, 1991г., В.В.Аниськов, 1995-2003гг.). С другой стороны, исследовались решетки насыщенных формаций большей длины (В.Г.Сафонов 1996-2004г.). Кроме того, этот подход нашел широкое применение при изучении структурного строения формаций групп других типов (n -кратно насыщенные формации, тотально насыщенные формации и др.).

В теории ω -насыщенных формаций данный метод был использован Дж. Джехадом [5] и Н.Г.Жевновой [6] при изучении p -насыщенных и ω -насыщенных формаций с нильпотентным l^ω -дефектом 1. Классификация неразрешимых ω -насыщенных формаций, имеющих разрешимую максимальную ω -насыщенную подформацию, получена в [7].

Естественным развитием исследований в этом направлении является изучение решеточного строения частично насыщенных формаций, близких к N по тем или иным свойствам. Так в совместной работе авторов было дано описание не -нильпотентной ω -насыщенной формации с -нильпотентноймаксимальной ω -насыщенной подформацией [8].

В данной работе получена классификация частично насыщенных формаций -разложимого l^ω -дефекта 1.

Основным результатом является

Теорема 1. Пусть F – некоторая ω-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -разложимый l^ω -дефект формации F равен 1, когда F=MV^ω H, где M – ω-насыщенная -разложимая подформация формации F, H – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация формации F, при этом: 1) всякая ω-насыщенная -разложимая подформация из F входит в MV^ω (HX); 2) всякая ω-насыщенная не -разложимая подформация F₁ из F имеет вид HV^ω (F₁ X).

2. Основные понятия и обозначения

Пусть ω – некоторое непустое множество простых чисел. Тогда через ω 'обозначают дополнение к ω во множестве всех простых чисел.

Всякую функцию вида f : ω {ω '}{формации групп} называют ω -локальным спутником. Если f –произвольный ω -локальный спутник, то LF_ω (f )={ G | G/G_ωd f (ω ') и G/F_p (G ) f (p ) для всех p ω (G )}, где Gωd –наибольшая нормальная подгруппа группы G , у которой для любого ее композиционного фактора H/K имеет место (H/K )ω Ø, F_p (G ) – наибольшая нормальная p -нильпотентная подгруппа группы G , равная пересечению централизаторов всех pd -главных факторов группы G .

Если формация F такова, что F=LF_ω (f) для некоторого ω -локального спутника f , то говорят, что F является ω -локальной формацией, а f ее ω -локальный спутник.Если при этом все значения f лежат в F, то f называют внутренним ω -локальным спутником.

Пусть X – произвольная совокупность групп и p – простое число. Тогда полагают, что X(F_p )=form(G /F_p (G ) | G ÎX), если p (X), X(F_p )=Ø, если p (X).

Формация F называется ω -насыщенной, если ей принадлежит всякая группа G , удовлетворяющая условию G /L F, где L Ф(G )∩O _ω (G ).

Ввиду теоремы 1 [1, c. 118] формация является ω -локальной тогда и только тогда, когда она является ω -насыщенной.

Через l^ω обозначают совокупность всех ω -насыщенных формаций.

Полагают l^ω formFравным пересечению всех тех ω -насыщенных формаций,которые содержат совокупность групп F.

Для любых двух ω -насыщенных формаций M и H полагают MH=M∩H, а MV^ω H=l^ω form(MH). Всякое множество ω -насыщенных формаций, замкнутое относительно операций и V^ω , является решеткой. Таковым, например, является множество l^ω всех ω -насыщенных формаций.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--