Курсовая работа: О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1

Ввиду леммы 3 имеем [Mi/Ni]((H/Ni)/)form(H/Ni).

Пусть A – группа простого порядка. Тогда ввиду (1) M/N=H/N – абелев фактор.

Поэтому CH(M/N)=H. В силу условия (3) CH(Mi/Ni)=CH(M/N)=H. Поскольку =CH(Mi/Ni)/Ni, то (H/Ni)/

H/CH(Mi/Ni)=H/H=1. Значит, Mi/Niform(H/Ni). Но ввиду (3) H/NiF=MX. Поскольку M и X – формации, то AMi/NiMX.

Пусть теперь A – простая неабелева группа. Тогда в силу леммы 10 получаем AMX. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть -разложимый lω-дефект формации F равен 1. Так как F не является -разложимой формацией, то по лемме 4 в F входит некоторая минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация H1. По условию M=X∩F – максимальная ω-насыщенная подформация в F. Значит, F=MVωH1.

Достаточность. Пусть F=MVωH1, где M – ω-насыщенная -разложимая подформация формации F, H1 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация F. Понятно, что FX. Пусть -разложимые lω-дефекты формаций F, M и H1 равны соответственно t, m и r. Поскольку M – ω-насыщенная -разложимая формация, то m=0. Так как H1 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая формация, то ее -разложимый lω-дефект r равен 1. В силу леммы 5 для -разложимого lω-дефекта формации F имеет место неравенство tm+r = 0+1 = 1.

Если t = 0, то F – -разложимая формация, что противоречит условию FX. Таким образом, |F:F∩X |ω=1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы.

Так как X∩H1 – максимальная ω-насыщенная подформация в H1, то, в силу леммы 6, имеет место решеточный изоморфизм

(((X∩H1)VωM)VωH1)/ω((X∩H1)VωM)H1/ωH1∩((X∩H1)VωM) =

= H1/ω(X∩H1)Vω(H1∩M) = H1/ωX∩H1.

Следовательно, (X∩H1)VωM – максимальная ω-насыщенная подформация в F.

Тогда, поскольку FX, то всякая ω-насыщенная -разложимая подформация из F входит в (X∩H1)VωM.

Для доказательства утверждения 2) покажем прежде, что в F нет минимальных ω-насыщенных не -разложимых подформаций, отличных от H1. Пусть M1=F∩X. Тогда M1 – -разложимая максимальная ω-насыщенная подформация формации F. Предположим обратное, т.е. что в F существует H2 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация, отличная от H1. Поскольку M1 является -разложимой формацией, то H2M1. Значит, F=H2VωM1=H1VωM1.

Из леммы 9 следует, что Hi=lωformGi, где Gi – такая не -разложимая монолитическая группа с монолитом Pi, что (Gi)∩=Ø и либо =(Pi)∩ω=Ø и Pi совпадает с -разложимым корадикалом группы Gi, либо Ø и выполняется одно из следующих условий: (1) группа Pi неабелева, причем, если ', то Gi/Pi – '-группа, если ={pi}, то Gi/Pi – p-группа, если же ∩ωØ и ||>1, то Gi=Pi – простая неабелева группа; (2) Gi – группа Шмидта; (3) Gi=[Pi]Hi, где Pi=(Pi) – минимальная нормальная подгруппа группы Gi; Hi – простая неабелева группа, причем ∩(Hi)=Ø.

По лемме 7 формации Hi и M1 имеют такие внутренние ω-локальные спутники hi и m соответственно, что hi(a)=form(Gi/Fa(Gi) | GiHi), если aω∩(Gi), hi(a)=Hi, если a=ω', hi(a)=Ø, если aω\(Gi), где i=1,2 и m(a)=form(A/Fa(A) | A M1), если aω∩(M1), m(a)=M1, если a=ω', m(a)=Ø, если aω\(M1).

Тогда по лемме 8 получаем, что формация F имеет такой ω-локальный спутник f, что f(p)=hi(p)V m(p) для всех p ω и f(ω')=HiVM1=form(H1M1)F.

Пусть G2 удовлетворяет условию (1), т.е. P2 – неабелева ωd-группа. Обозначим через R формацию, равную form(H1M1). Поскольку, по лемме 15, NωR – ω-насыщенная формация и H1M1RNωR, то F=lωform(H1M1) NωR. Но G2F. Следовательно G2NωR. Значит, R-корадикал группы G2 содержится в Nω.

Пусть G2R 1. Так как R-корадикал – нормальная в G2 подгруппа и P2 – единственная минимальная нормальная подгруппа в G2, верно включение P2GR. Тогда получаем, что P2 – неабелева минимальная нормальная подгруппа в G2, содержится в нильпотентной подгруппе G2R группы G2. Противоречие.

Следовательно, G2R=1. Поэтому G2R=form(H1M1). Применяя теперь лемму 10, имеем G2H1M1. Тогда, так как G2M1, то G2H1. Поэтому H2=lωformG2H1.

Поскольку H2 – минимальная ω-насыщенная не X-формация, то H1=H2. Противоречие.

Пусть группа G2 удовлетворяет условию (2), т.е. G2 является группой Шмидта и P2 – ωd-группа. Поскольку для любой группы A имеет место lωformA=lωform(A/Ф(A)∩Oω(A)), то группу Gi (i=1,2) можно считать группой Шмидта с тривиальной подгруппой Фраттини, т.е. Gi=[Pi] Hi, где группа Hi имеет простой порядок qi, Pi=(Pi) – минимальная нормальная pi-подгруппа группы Gi.

Так как G2/P2F∩X=M1, G2M1, то P2=G2M1. Из того, что M1Np2M1 и P2Np2, следует G2Np2M1.

По лемме 11 формация Np2M1 является ω-насыщенной формацией. Так как H2=lωformG2, то H2Np2M1. Тогда FNp2M1, так как F – наименьшая ω-насыщенная формация, содержащая M1 и H2. Следовательно, G1Np2M1. Поскольку, G1/P1M1 и G1M1, то P1=G1M1 Np2, т.е. P1 является p2-группой. Так как G2F, то G2/Fp2(G2)f(p2)=h1(p2)Vm(p2). Но H2G2/P2=G2/Fp2(G2). Поэтому H2h1(p2)Vm(p2).

Ввиду пункта 18.20. [2], леммы 7 и замечания 1 [1] формация X всех -разложимых групп имеет такой максимальный внутренний ω-локальный спутник x, что x(p)=Np, если p∩ω и x(p)=G’ если pω\.

Так как m(p2) – внутренний спутник формации M1X, то H2 h1(p2)V m(p2)h1(p2)V x(p2). Заметим также, что h1(p2)=form(G1/Fp2(G1))=formH1. Кроме того p2∩ω. Таким образом, H2formH1Vx(p2) = formH1VNp2 = form(formH1Np2). Применяя лемму 16, получаем, что H2formH1Np2.

Заметим, что G1 удовлетворяет либо условию (2), либо условию (3). Следовательно H1 является простой группой. Поскольку H2 – q2-группа и q2p2, то H2H1.

Но тогда G2/Op2(G2)=G2/P2H2H1G1/Fp2(G1)h1(p2)H1. Применяя лемму 12, получаем, что G2H1. Следовательно, H1=H2. Противоречие.