Курсовая работа: Оператор сдвига
Понятие изометрического оператора можно ввести также для операторов, действующих в нормированном пространстве.
Определение 8. Ограниченный линейный оператор U в нормированном пространстве Е называется изометрическим, если он не изменяет величины нормы: для любых
.
Лемма 1. Для того, чтобы линейный оператор U в пространстве Н был изометрическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: для любых
.
Доказательство. Нужно доказать только достаточность. Для этого используем тождество . Его легко проверить, если представить левую часть в виде скалярных произведений:
. Так как левая часть не изменится при замене векторов
на векторы
, то правая тоже не изменится, т. е.
.
Определение 9. Оператор U называется унитарным, если он изометрический и имеет обратный оператор, определенный на всем пространстве Н.
Теорема 7. Спектр унитарного оператора – это множество, лежащее на единичной окружности.
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа:
Докажем, что спектр унитарного оператора U содержится в единичном круге.
Рассмотрим обратный оператор и покажем, что он тоже унитарный. Докажем, что, если принадлежит спектру оператора U, то
принадлежит спектру обратного оператора и наоборот.
Для доказательства I этапа применим теорему 4: если А – ограниченный линейный оператор в нормированном пространстве и , то
– регулярная точка. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса
с центром в нуле. А норма унитарного оператора U, как было показано, равна 1 (
). Следовательно, спектр унитарного оператора содержится в единичном круге.
Перейдем ко II этапу. Докажем, что оператор, обратный к унитарному оператору, также унитарный оператор. Покажем, что он удовлетворяет условию изометрии: для всех
. Положим Ux=y, тогда
, и
, т. е.
для всех
.
Докажем, что, если точка является регулярной для оператора U, то точка
является регулярной для обратного оператора U-1. Точка
, является регулярной для оператора U, если выполняется условие:
(*).
Оператор U-1 является обратным для оператора U, значит, для них верно U-1U=I=UU-1 . Используя это, равенство (*) можно переписать:
, или
.
Используем свойство обратных операторов: оператор, обратный произведению операторов, равен произведению обратных операторов к данным, взятых в противоположном порядке, т.е. для двух операторов А и В имеем . Тогда равенство можно переписать в виде:
.
Вычислим отдельно произведение:
.
В итоге , т.е.
является регулярной для обратного оператора U-1.
Возьмем множество точек . Тогда точки вида
лежат вне единичного круга и все являются для оператора
регулярными, так как он унитарный и его норма равна 1. Но поскольку оператор
- обратный к оператору
, то точки, входящие в
, по предыдущему рассуждению являются для него регулярными. Следовательно, спектр оператора U – это множество, лежащее на единичной окружности.
Важным примером изометрического оператора является оператор сдвига.
Определение 10. Оператор , заданный в пространстве последовательностей, называется оператором сдвига, если он каждую последовательность вида (х1,х2,…, хn…) переводит в последовательность вида (0, х1, х2, …, хn…), т.е. выполняется равенство:
(х1,х2,…, хn…)=(0, х1, х2, …, хn…).
Можно также рассматривать оператор сдвига, который действует в пространстве последовательностей, бесконечных в обе стороны. Элемент этого пространства можно представить в таком виде: (…х-2, х-1, х0, х1, х2, …).
Определение 11. Оператор называется оператором двухстороннего сдвига, если он каждую последовательность, бесконечную в обе стороны, сдвигает вправо, т.е. выполняется равенство:
.
Уточним, о каких пространствах последовательностей будет идти речь:
1) l2 – пространство односторонних последовательностей комплексных чисел с натуральной нумерацией, для которых ряд - сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой
.
2) l2(-∞;∞) – пространство двусторонних последовательностей комплексных чисел с нумерацией целыми числами, для которых соответственно ряд – сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой
.