Курсовая работа: Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных
субнормальным, если для любого
;
нормальным, если для любого
.
Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в
для всех
.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
--- класс всех групп;
--- класс всех абелевых групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп;
--- класс всех
--групп;
--- класс всех сверхразрешимых групп.
Пусть --- некоторый класс групп и
--- группа, тогда:
---
--корадикал группы
, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп
из
, для которых
. Если
--- формация, то
является наименьшей нормальной подгруппой группы
, факторгруппа по которой принадлежит
. Если
--- формация всех сверхразрешимых групп, то
называется сверхразрешимым корадикалом группы
.
Формация называется насыщенной, если всегда из
следует, что и
. Класс групп
называется наследственным или
-замкнутым, если из того, что
, следует, что и каждая подгруппа группы
также принадлежит
.
Пусть --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа
группы
называется:
-нормальной, если
;
-абнормальной, если
.
Максимальная -цепь
называется
-субнормальной, если для любого
подгруппа
-нормальна в
. Подгруппа
группы
называется
-субнормальной, если существует хотя бы одна
-субнормальная максимальная
-цепь.
Группа называется группой с плотной системой
-субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп
и
группы
, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе
существует такая
-субнормальная подгруппа
, что
. В этом случае также говорят, что множество
-субнормальных в
подгрупп плотно.
Введение
Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп
, то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из
. Среди таких обобщений выделим следующие исследования.
Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.
Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством
, называется плотной в
, если для любых двух подгрупп
из
, где
не максимальна в
, найдется
-подгруппа
такая, что
. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.
В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.
Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа является
-субнормальной в
, если существует цепь подгрупп
такая, что является
-нормальной максимальной подгруппой в
для любого
. Если
совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно,
-замкнутой насыщенной формацией), то
-субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.
В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами,
--субнормальными или
--абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.
Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если ---
-замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее
-субнормальных подгрупп плотно?