Курсовая работа: Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

Доказательство. Пусть --- группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как неразрешима, то она имеет подгруппу порядка , где --- простое число. По условию, имеет -субнормальную подгруппу такую, что делит . Поэтому в существует максимальная подгруппа, содержащая . Таким образом, .

По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы . Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы . Так как класс всех разрешимых групп и класс всех -нильпотентных групп --- насыщенные формации, то мы получаем, что . Очевидно, имеет минимальную нормальную подгруппу , содержащуюся в .

1. Рассмотрим случай . Допустим, что неразрешима. Тогда содержит подгруппу порядка , где . Так как 1 не максимальна в , то в существует -субнормальная подгруппа такая, что . По лемме, есть -число. Мы получаем, что и , т.е. оказывается -нильпотентной -группой. Противоречие. Следовательно, разрешима.

Ввиду леммы , лемма верна для . Значит, либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой. Так как , то мы видим, что лемма верна и для .

2. Теперь рассмотрим случай . Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы . Следовательно, каждая собственная подгруппа группы либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

2.1. Предположим, что содержит разрешимую -нормальную максимальную подгруппу. Тогда разрешима, а --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Из следует, что является -группой для некоторого простого .

Предположим, что и . Так как неразрешима, то имеет подгруппу порядка , где . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Так как --- -группа, а по лемме, индекс является -числом, то мы получаем, что --- -нильпотентная -группа. Противоречие.

Случай и невозможен, так как --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Поэтому остается рассмотреть случай . Но тогда является -разрешимой -группой. Так как неразрешима, то в холловой -подгруппе из найдется нециклическая силовская подгруппа . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Обозначим через формацию всех -нильпотентных групп. По лемме, -субнормальна в . Теперь по теореме, мы имеем . Следовательно, , а значит, централизует . Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из централизует . Так как не принадлежит , то не централизует . Итак, в имеется циклическая силовская подгруппа , которая не централизует . Ввиду теоремы, не максимальна в . Теперь, применяя к те же рассуждения, что и для , получаем, что централизует . Пришли к противоречию.

2.2. Итак, пусть теперь каждая -нормальная максимальная подгруппа группы является -нильпотентной -группой. Тогда оказывается -группой, а ее -корадикал -нильпотентен. Так как группы Шмидта разрешимы, то отсюда следует, что имеет -абнормальную максимальную подгруппу , которая не является -нильпотентной. По предположению, разрешима. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит . По теореме, является -группой для некоторого простого числа . Если , то -нильпотентна, противоречие. Таким образом, , т.е. есть -группа. Выберем в подгруппу , удовлетворяющую следующим условиям: 1) --- степень простого числа; 2) не является -группой; 3) не максимальна в . По условию, в найдется -субнормальная подгруппа такая, что . По теореме , , а потому мы имеем . Так как не -нильпотентна, то мы получаем, что не является -группой. Мы видим, что в существует силовская -подгруппа такая, что максимальна в , и . Если нециклическая, то она имеет две различные максимальные подгруппы и , которые, как мы доказали, централизуют . Отсюда следует, что и централизует , что невозможно. Следовательно, --- циклическая максимальная подгруппа в . Группа у нас -разрешима. Будем считать, что содержится в холловой -подгруппе группы . Если максимальна в , то учитывая, что циклическая, мы получаем, что, по теореме , подгруппа разрешима. Но тогда и разрешима. Получаем противоречие. Таким образом, не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как , мы получаем, что -субнормальна в . По теореме , . Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Предположим, что , --- -группа, не -нильпотентна, а все ее -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) --- группа Шмидта и ;

2) , силовская -подгруппа из совпадает с и является ее минимальной нормальной подгруппой;

3) , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , имеющая индекс в , а подгруппа является циклической, причем .

Доказательство. По лемме, разрешима. Пусть --- некоторая -абнормальная максимальная подгруппа из . Тогда, по условию, некоторая холлова -подгруппа входит в и нормализует ее силовскую -подгруппу . Так как --- -группа, то . А так как и -нильпотентна, то из вытекает, что . Рассмотрим два случая: и .

1. . По лемме, либо максимальна в , либо -субнормальна в . Пусть вначале -субнормальна в . Тогда, по теореме, . Так как , то получается, что --- силовская -подгруппа из , нормализующая . Это противоречит тому, что не -нильпотентна. Пусть теперь максимальна в . Тогда . Значит,