Курсовая работа: Основы программирования

Для продолжения нажмите любую клавишу

3.16 Теоретические сведения

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Проиллюстрируем метод на системе из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

(1)

В такой системе, по крайней мере, один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнения необходимо переставить таким образом, чтобы на месте первого уравнения было уравнение с максимальным отличным от нуля коэффициентом при Х=0. Далее вводится множитель , на него умножается первое уравнение системы и вычитается из второго уравнения. При этом мы получим

Третье уравнение системы (1) умножим на коэффициент и вычтем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на этот коэффициент. В результате получим

Таким образом система уравнений (1) приводится к виду:

(2)

Для системы уравнений (2) введем множитель , умножим на него второе уравнение системы (2) и вычтем из третьего уравнения. В результате третье уравнение системы (2) примет вид:

Тогда система уравнений (2) примет вид:

(3)

Мы получили треугольную систему уравнений и необходимо выполнить обратную подстановку для вычисления неизвестных.

Обобщим метод на случай системы из n уравнений с n неизвестными.

На k-ом этапе мы исключаем из системы уравнений с помощью множителей

, где i=k+1, k+2,…,n-1

J=k,k+1,…,n-1

Индекс k принимает значения k=0,1,…,n-2 включительно. При k=n-2 происходит исключение из последнего уравнения и в результате получится треугольная система уравнений.

В представленной блок-схеме все множители, на которые нужно умножать уравнения, обозначаем буквой m, т. к. на каждом этапе требуется не более 1-го множителя.

k-номер уравнения, который вычитается из остальных, а также неизвестного, который исключается из остальных n-k уравнений

i-номер уравнения, из которого в данный момент исключается неизвестное, j-номер столбца