Курсовая работа: Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Найдем общее решение этой системы. Для этого решим ее методом исключения.

Продифференцировав первое уравнение системы (1) и пользуясь вторым, получим

Или

(2).

Решим полученное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (2). Для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

λλ=0

λ=i

λ=-i

Так как характеристическое уравнение имеет два сопряженных корня λ=i и λ=-i, то общее решение линейного уравнения (2) имеет вид

y=ccos t +csin t.

Подставим значение y в первое уравнение системы (1), получим

z=-csin t +ccos t.

Тогда общее решение системы (1) имеет вид

.

Составим фундаментальную систему решений системы (1).

Определение1 [2,c.482]. Фундаментальной системой решений в интервале (a,b) называется совокупность n решений однородной системы, определенных и линейно независимых в этом интервале.

Положим c=1,c=0. Подставим значения cи cв общее решение системы. Получим

.

Пусть теперь c=0,c=1. Тогда получим

.

Эти решения системы (1) запишем в виде матрицы

.

Покажем, что найденные решения составляют фундаментальную систему решений.

Для этого воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 1 [2, c.480]. Если n решений линейной однородной системы линейно независимы в интервале (a,b), то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Составим и вычислим вронскиан решений системы (1):

≠ 0.

Итак, вронскиан решений системы (1) не обращается в нуль ни в одной точке интервала (−∞; + ∞), значит, найденные решения системы (1) являются линейно независимыми в интервале (−∞; + ∞) (по теореме1) и составляют фундаментальную систему решений (по определению1).

Вычислим характеристические показатели матриц x и x. Приведем определение характеристического показателя.