Курсовая работа: Понятие эвристики в математике
Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение является доказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.
При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d[2] . Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение из аксиом. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами.
К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие "несоизмеримость" лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно - диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли - Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты[3] .
Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологи и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению, переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).
Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.
Таким образом, можно сделать следующие выводы.
Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность какого-либо утверждения.
При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.
1.2. Эвристика как метод научного познания
Вопросы понимания механизмов человеческого мышления, выработки приемов повышения его эффективности в те далекие времена больше занимали, говоря сегодняшним языком, представителей гуманитарных профессий: философов, теологов, психологов. Первые упоминания об эвристике, учении о продуктивных методах творческого мышления, относятся к временам античности. Наиболее ранние попытки выявить особенности творческого подхода при решении задач нашли отражение в трудах Архимеда, Евклида, Апполония Бергамского, Аристея-старшего. Сам же термин "эвристика" впервые появился в трудах греческого математика Паппа Александрийского, жившего во второй половине III века нашей эры.
Эвристика (от греч. "эврика" - Я нашел) - наука о вспомогательных, дополнительных к основным (эксперимент, наблюдение и т.п.) приемах получения знаний.
В научной литературе это понятие не имеет единого толкования. В некоторых работах об интенсификации научно-технического творчества эвристика отождествляется с психологией научного творчества: "Психология научного творчества - эвристика изучает, как решаются научные задачи, требующие, кроме знаний и умений, также и сообразительности, догадки".
Другие психологи считают, что эвристика - это "абстрактно-аналитическая наука, изучающая один из структурных уровней организации творческой деятельности и ее продуктов".
Следующие определения эвристики:
1.Специальные методы, используемые в процессе открытия (создания) нового (эвристические методы).
2.Наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическую деятельность).
3.Восходящий к Сократу метод обучения (майевтика) .
По мнению психологов, эвристика - это отрасль знания, "изучающая формирование новых действий в необычной ситуации", она может стать наукой "в том случае, если эвристические процессы, приводящие к этим новым действиям, найдут наконец свое математическое описание".
Приведенные высказывания (которых можно было бы привести больше), свидетельствуют о том, что эвристика как самостоятельная наука еще не сформировалась.
Несмотря на большое количество научных трудов, посвященных вопросам эвристики, они, как правило, касаются ее частных проблем и не дают четкого представления ни об объекте, ни о предмете эвристики, ни о ее статусе среди других наук.
Попытка обобщения многочисленных концепций и формулирование на этой основе определения статуса и предмета эвристики изложены в работах Буша Г.Я и Буша К. По определению авторов этой работы: "Эвристика - это общенаучная теория решения проблемных задач, возникающих в человеческой деятельности и общении".
Предметом эвристики является "выявление, обработка и упорядочение закономерностей, механизмов и методологических средств антиципации (предвосхищения) и конструирования нового знания и целеустремленных способов деятельности и общения, создаваемых на основе обобщения прежнего опыта и опережающего отражения моделей будущего с целью более полного удовлетворения потребностей людей".
Оценивая попытку авторов, можно сказать, что с точки зрения обобщения частных подходов к эвристике она удалась, но вместе с тем, очевидно, стремление к детерминации общности помешало авторам в данном определении выделить специфические черты именно эвристики, и в результате под это определение можно подвести и другие общенаучные дисциплины, например такие, как прогнозирование или системный подход.
Множество толкований эвристики говорит о разном содержании, которое вкладывают авторы различных концепций в данное понятие. При этом общим и бесспорным является то, что во всех случаях эвристика неразрывно связывается с творческой деятельностью, с творчеством.
Общими звеньями, связывающими в единую цепь понятия "эвристика" и "творчество", являются представления о нетривиальности, неординарности, новизне и уникальности. Применительно к понятию "творчество" такими качествами характеризуется результат творческой деятельности, применительно к эвристике - методы и средства получения этого результата.
К проблемам создания эвристики обращались ряд философов и математиков, например, Р. Декарт, Г. Лейбниц, Б. Больцано, А. Пуанкаре. Например, в труде "Правила для руководства ума" Р. Декарт предложил ряд принципов поиска истины. Они настолько интересны и актуальны еще и сегодня, что стоит кратко познакомиться с некоторыми его мыслями.
Декарт, во-первых, утверждал, что способность правильно судить и отличать истинное от ложного, что, собственно, и именуется здравым смыслом или разумом, от природы у всех людей одинакова. "Таким образом, различие наших мнений происходит не оттого, что одни люди разумнее других, но только оттого, что мы направляем наши мысли разными путями и рассматриваем не те же самые вещи. Ибо мало иметь хороший ум, главное - хорошо его применять". (Можно добавить, что мало иметь хорошие знания, главное уметь их применять.)
Для хорошего же применения своего ума Декартом сформулированы четыре принципа, следовать которым он рекомендовал, и которые остаются актуальными и в наше время. Приведем их и вслед за их автором настойчиво порекомендуем следовать им, и особенно - второму, поскольку он предвосхитил, как мы увидим дальше, один из фундаментальных системных принципов.
Первое - "никогда не принимать за истинное ничего, что я не познал бы таковым с очевидностью; иначе говоря, тщательно избегать опрометчивости и предвзятости и включать в свои суждения только то, что представляется моему уму столь ясно и столь отчетливо, что не дает мне никакого повода подвергать их сомнению".
Второе - "делить каждое из исследуемых затруднений на столько частей, сколько это возможно и нужно для лучшего их преодоления".