Курсовая работа: Построение экономической модели с использованием симплекс-метода

Полученные результаты удобно представить в виде таблицы :

Базисные переменные	Z	X1	X2	S1	S2	Решение
Z	1	-1	25	0	0	0	Z уравнение
S1	0	5	100	1	0	1000	S1 -уравнение
S2	0	-1	2	0	1	0	S2 уравнение

Эта таблица интерпретируется следующим образом. Столбец « Базисные переменные » содержит переменные пробного базиса S1, S2, значения которых приведены в столбце « Решение ». При этом подразумевается, что небазисные переменные X1 и X2 ( не представленные в первом столбце ) равны нулю. Значение целевой функции Z = 1*0 + 25*0 + 0*1000 + 0*1 равно нулю, что и показано в последнем столбце таблицы.

Определим, является ли полученное пробное решение наилучшим ( оптимальным ). Анализируя Z уравнение, нетрудно заметить, что обе небазисные переменные X1 и X2, равные нулю, имеют отрицательные коэффициенты. Всегда выбирается переменная с большим абсолютным значением отрицательного коэффициента ( в Z уравнении ), так как практический опыт вычислений показывает, что в этом случае оптимум достигается быстрее.

Это правило составляет основу используемого в вычислительной схеме симплекс-метода условия оптимальности, которое состоит в том, что, если в задаче максимизации все небазисные переменные в Z уравнении имеют неотрицательные коэффициенты, полученное пробное решение является оптимальным. В противном случае в качестве новой базисной переменной следует выбрать ту, которая имеет наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.

Применяя условие оптимальности к исходной таблице, выберем в качестве переменной, включаемой в базис, переменную Х2. Исключаемая переменная должна быть выбрана из совокупности базисных переменных S1, S2. Процедура выбора исключаемой переменной предполагает проверку условия допустимости, требующего, чтобы в качестве исключаемой переменной выбиралась та из переменных текущего базиса, которая первой обращается в нуль при увеличении включаемой переменной X2 вплоть до значения, соответствующего смежной экстремальной точке.

Интересующее нас отношение ( фиксирующее искомую точку пе-ресечения и идентифицирующее исключаемую переменную ) можно определить из симплекс-таблицы. Для этого в столбце, соответствующем вводимой переменной X2, вычеркиваются отрицательные и нулевые элементы ограничений. Затем вычисляются отношения постоянных, фигурирующих в правых частях этих ограничений, к оставшимся элементам столбца, соответствующего вводимой переменной X2. Исключаемой переменной будет та переменная текущего базиса, для которой указанное выше отношение минимально.

Начальная симплекс-таблица для нашей задачи, получаемая после проверки условия допустимости ( т. е. после вычисления соответствующих отношений и определения исключаемой переменной ), воспроизведена ниже. Для удобства описания вычислительных процедур, осуществляемых на следующей итерации, введем ряд необходимых определений. Столбец симплекс-таблицы, ассоциированный с вводимой переменной, будем называть ведущим столбцом. Строку, соответствующую исключаемой переменной, назовем ведущей строкой ( уравнением ), а элемент таблицы, находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки, будем называть ведущим элементом.

После того как определены включаемая и исключаемая переменные ( с использованием условий оптимальности и допустимости ), следующая итерация ( поиск нового базисного решения ) осуществляется методом исключения переменных, или методом Гаусса — Жордана. Этот процесс изменения базиса включает вычислительные процедуры двух типов.

Тип 1 ( формирование ведущего уравнения ).

Новая ведущая строка = Предыдущая ведущая строка / Ведущий элемент

Тип 2 ( формирование всех остальных уравнений, включая Z yравнение ).

Новое уравнение = Предыдущее уравнение —

 Коэффициент 

 ведущего столбца Новая ведущая строка ).

предыдущего 

уравнения 

Выполнение процедуры типа 1 приводит к тому, что в новом ведущем уравнении ведущий элемент становится равным единице. В результате осуществления процедуры типа 2 все остальные коэффициенты, фигурирующие в ведущем столбце, становятся равными нулю. Это эквивалентно получению базисного решения путем исключения вводимой переменной из всех уравнений, кроме ведущего. Применяя к исходной таблице процедуру 1, мы делим S2 уравнение на ведущий элемент, равный 1.

Базисные переменные	Z	X1	X2	S1	S2	Решение
Z
S1
S2	0	-1/2	1	0	1/2	0

Чтобы составить новую симплекс-таблицу, выполним необходимые вычислительные процедуры типа 2.

1. Новое Z уравнение.

старое Z уравнение : ( 1 -1 -25 0 0 0 )

( ( -25 ) * ( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )

( 1 -131/2 0 0 121/2 0 )

Новое S1 уравнение

старое S1 уравнение : ( 0 5 100 1 0 1000 )

( 100 ) * ( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )

( 0 55 0 1 -50 1000 )

Новая симплекс-таблица будет иметь вид :

Базисные переменные	Z	X1	X2	S1	S2	Решение
Z	1	-131/2	0	0	121/2	0	Z – уравнение
S1	0	55	0	1	-50	1000	S1 –уравнение
X2	0	-1/2	1	0	1/2	0	X2 – уравнение

В новом решении X1 = 0 и S2 = 0. Значение Z не изменяется.

Заметим, что новая симплекс-таблица обладает такими же характеристиками, как и предыдущая : только небазисные переменные X1 и S2 равны нулю, а значения базисных переменных, как и раньше, представлены в столбце « Решение ». Это в точности соответствует результатам, получаемым при использовании метода Гаусса—Жордана.