Курсовая работа: Построение экономической модели с использованием симплекс-метода

Z-ypaвнении равен -131/2. Исходя из условия допустимости, определяем, что исключаемой переменной будет S1. Отношения, фигурирующие в правой части таблицы, показывают, что в новом базисном решении значение включаемой переменной X1 будет равно 1000/55 ( = минимальному отношению ). Это приводит к увеличению целевой функции на ( 1000/55 ) * ( -131/2 ) = ( 2455/11 ).

К получению симплекс-таблицы, соответствующей новой итерации, приводят следующие вычислительные операции метода Гаусса—Жордана.

Новое ведущее S1 уравнение = Предыдущее S1 уравнение / ( 55 ).

Базисные переменные	Z	X1	X2	S1	S2	Решение
Z
S1	0	1	0	1/55	50/55	1000/55
X2

2) Новое Z уравнение = Предыдущее Z уравнение ( -131/2 ) * Новое /ведущее уравнение :

( 1 -131/2 0 0 121/2 0 )

( -131/2 ) * ( 0 1 0 1/55 -50/55 1000/55 )

( 1 0 0 27/110 5/22 2455/11 )

3) Новое X2 уравнение = Предыдущее X2 уравнение ( -1/2 ) * Новое ведущее уравнение :

( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )

( 1/2 ) * ( 0 1 0 1/55 -50/55 1000/55 )

( 0 0 1 1/110 1/22 91/11 )

В результате указанных преобразований получим следующую симплекс-таблицу.

Базисные переменные	Z	X1	X2	S1	S2	Решение
Z	1	0	0	27/110	5/22	2455/11
X1	0	1	0	1/55	-50/55	1000/55
X2	0	0	1	1/110	1/22	91/11

В новом базисном решении X1=1000/55 и X2=91/11. Значение Z увеличилось с 0 ( предыдущая симплекс-таблица ) до 2455/11 ( последняя симплекс-таблица ). Этот результирующий прирост целевой функции обусловлен увеличением X1 от О до 1000/55, так как из Z строки предыдущей симплекс-таблицы следует, что возрастанию данной переменной на единицу соответствует увеличение целевой функции на( -131/2 ).

Последняя симплекс-таблица соответствует оптимальному решению задачи, так как в Z уравнении ни одна из небазисных переменных не фигурирует с отрицательным коэффициентом. Получением этой pезультирующей таблицы и завершаются вычислительные процедуры симплекс-метода.

В рассмотренном выше примере алгоритм симплекс-метода использован при решении задачи, в которой целевая функция подлежала максимизации. В случае минимизации целевой функции в этом алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности : в качестве новой базисной переменнойследует выбирать ту переменную, которая в Z уравнении имеет наибольший положительный коэффициент. Условия допустимости в обоих случаях ( максимизации и минимизации ) одинаковы. Представляется целесообразным дать теперь окончательные формулировки обоим условиям, используемым в симплекс-методе.

Условие оптимальности. Вводимой переменной в задаче максимизации ( минимизации ) является небазисная переменная, имеющая в Z -уравнении наибольший отрицательный ( положительный ) коэффициент, В случае равенства таких коэффициентов для нескольких небазисных переменных выбор делается произвольно, если все коэффициенты при небазисных переменных в Z уравнении неотрицательны (неположительны), полученное решение является оптимальным.

Условие допустимости, в задачах максимизации и минимизации в качестве исключаемой переменной выбирается та базисная переменная, для которой отношение постоянной в правой части соответствующего ограничения к ( положительному ) коэффициенту ведущего столбца минимально. В случае равенства этого отношения для нескольких базисных переменных выбор делается произвольно.

Оптимальное решение

С точки зрения практического использования результатов решения задач ЛП классификация переменных, предусматривающая их разделение на базисные и небазнсные, не имеет значения и при анализе данных, характеризующих оптимальное решение, может не учитываться. Переменные, отсутствующие в столбце « Базисные переменные », обязательно имеют нулевое значение. Значения остальных переменных приводятся в столбце « Решение ». При интерпретации результатов оптимизации в нашей задаче нас прежде всего интересует количество времени, которое закажет наша фирма на радио и телевидение, т. е. значения управляемых переменных X1 и X2. Используя данные, содержащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения, основные результаты можно представить в следующем виде :

Управляемые переменные	Оптимальные значения	Решение
X1	1000/55	Время выделяемое фирмой на телерекламу
X2	91/11	Время выделяемое фирмой на радиорекламу
Z	2455/11	Прибыль получаемая от рекламы.

Заметим, что Z = X1 + 25X2 = 1000/55 + 25 * 91/11 = 2455/11. Это решение соответствует данным заключительной симплекс-таблицы.

Статус ресурсов

Будем относить ресурсы к дефицитным или недифицитным в зависимости от того, полное или частичное их использование предусматривает оптимальное решение задачи. Сейчас цель состоит в том, чтобы получить соответствующую информацию непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения. Однако сначала следует четко уяснить следующее. Говоря о ресурсах, фигурирующих в задаче ЛП, мы подразумеваем, что установлены некоторые максимальные пределы их запасов, поэтому в соответствующих исходных ограничениях должен использоваться знак <=. Следовательно, ограничения со знаком => не могут рассматриваться как ограничения на ресурсы. Скорее, ограничения такого типа отражают то обстоятельство, что решение должно удовлетворять определенным требованиям, например обеспечению минимального спроса или минимальных отклонений от установленных структурных характеристик производства ( сбыта ).

В модели, построенной для нашей задачи, фигурирует ограничение со знаком <=. Это требование можно рассматривать как ограничение на соответствующий « ресурс », так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению « представительства » фирмы на рынке сбыта.

Из вышеизложенного следует, что статус ресурсов ( дефицитный или недефицитный ) для любой модели ЛП можно установить непосредственно из результирующей симплекс-таблицы, обращая внимание на значения остаточных переменных. Применительно к нашей задаче можно привести следующую сводку результатов :

Ресурсы	Остаточная переменная	Статус ресурса
Ограничение по бюджету	S1	Дефицитный
Превышение времени рекламы радио над теле	S2	Дефицитный

Положительное значение остаточной переменной указывает на неполное использование соответствующего ресурса, т. е. данный ресурс является недефицятным. Если же остаточная переменная равна нулю, это свидетельствует о полном потреблении соответствующего ресурса. Из таблицы видно, что наши ресурсы являются дефицитными. В случае недефицитности любое увиличение ресурсов сверх установленного максимального значения привело бы лишь к тому, что они стали бы еще более недефнинтными. Оптимальное решение задачи при этом осталось бы неизменным.

Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить решение ( увеличить прибыль ), — это остаточные переменные S1 и S2, поскольку из симплекс-таблицы для оптимального решения видно, что они дефицитные. В связи с этим логично поставить следующий вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов, с тем чтобы получить от них максимальную отдачу ? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем подразделе этой главы, где рассматривается ценность различных ресурсов.

Ценность ресурса

Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального значения Z, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса.

Информация для оптимального решения задачи представлена в симплекс-таблице. Обратим внимание на зн ачения коэффициентов Z уравнения, стоящих при перем енны х начальног о базиса S1 и S2. Выделим для удобства соответстзующую часть симп лекс-табли цы :

Базисные переменные	Z	X1	X2	S1	S2	Решение
Z	1	0	0	27/110	5/22	2455/11

Как следует и з теории решения задач Л П, цен ность ресурсов всегда можно опреде лить по значениям коэффициен тов п ри переменных начального бази са, фигурирующих в Z уравнении оптимальной симплекс-табли цы, таким образом Y1 = 27/110, а Y2 = 5/22.

Покажем, каким образом аналогичный результат можно получить непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Рассмотрим Z уравнение симпле кс-таблицы для оптимального решения нашей задачи