Курсовая работа: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

(ln a)/a = (ln b)/b.

Пусть f(x)=(ln x)/x (1). Существование решений уравнения (1) эквивален-тно наличию значений x1 и x2 (x1<x2) таких, что f(x1)=f(x2). В этом случае пара (x1,x2) является решением уравнения (1). Иными словами, требуется выяснить, найдется ли прямая y=c, пересекающая график функции f по крайней мере в двух различных точках. Для этого исследуем функцию f. Ее производная f/(x)=(1–ln x)/x2 в области определения f имеет единственную критическую точку x=e. При 0<x<e f/(x)>0 функция f возрастает, а при x>e f/(x)<0 функция f убывает. Поэтому в точке x=e f принимает свое наибольшее значение (1/e). Так как функция (ln x)/x непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от –¥ до 1/е. Аналогично, на промежутке [e,¥) функция f принимает все значения из (0,1/e]. Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:

1. Если 0<a<b и a£1, то (ln a)/a<(ln b)/b. Поэтому ab<ba . Следовательно, уравнение (1) и равносильное ему уравнение ab=ba не имеют решений.

2. Если 1<a<b£e, то ab<ba и уравнение ab=ba также не имеют решений.

3. Если b>a>e, то ab>ba.

Таким образом, если (a,b) является решением уравнения ab=ba , то 1<a<e, b>e. Более того, при каждом фиксированном значении 1<a<e найдется единственное значение b>e такое, что ab=ba

Для ответа на вопрос задачи 3 достаточно положить a=e, b=p и воспользоваться утверждением (1). Итак, ep > pe . Задача 3 решена.

Задача 1.4. Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй – в одно и то же число раз. Выяснилось, что в n-тый день (n>2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за n дней первый турист прошел путь больший, чем второй.

Решение.

Расстояние, пройденное первым туристом за n дней, представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии, а вторым – сумму n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно Sn и Sn/. Если a – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии, то

Приравнивая n-е члены прогрессий, находим

Тогда , где q>1 (по условию задачи). Задача 4 будет решена, если мы покажем, что , где n>2, q>1 (2)

При n=3 имеем , что равносильно очевидному неравенству . Предполагая, что неравенство (2) справедливо при n=k, докажем его для n=k+1. Имеем

Для завершения доказательства достаточно убедиться, то выражение при k>2. Здесь целесообразно обратиться к производной.

Пусть Производная положительная при x>1. Поэтому f при x>1 возрастает. Так как f(1)=0 и функция f непрерывна в точке x=1, то f(x)>0 при x>1, т.е. f(q)>0. Итак, Sn>Sn/. Задача 4 решена.

1.2. Использование основных теорем дифференциального исчисления при доказательстве неравенств

ТЕОРЕМА 1 (Ролля).Пусть функция f:[a,b]®R удовлетворяет условиям:

1) fÎC[a,b]; 2) "xÎ(a,b) существует f/(x); 3) f(a)=f(b). Тогда $CÎ(a,b): f/(C)=0.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. На практике чаще используется следующее утверждение теоремы Ролля: между любыми двумя нулями дифференцируемой функции существует хотя бы один нуль у производной.

ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа про среднее значение, или про конечное приращение). Допустим что функция f:[a,b]®R удовлетворяет условиям:

1) fÎC[a,b]; 2) "xÎ(a,b) существует f/(x). Тогда $CÎ(a,b): f(b)-f(a)=f/(C)(b-a).

Отношение (f(b)-f(a))/(b-a) есть тангенс угла наклона к оси абсцисс секущей, которая проходит через точки (a, f(a)), (b, f(b)). Геометрический смысл теоремы Лагранжа: при выполнении условий 1)-2) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции в точке (C, f(C)) параллельна секущей.

Следствие 1. Пусть функція f:[a,b]®R имеет производную f/ на (a,b) і "xÎ(a,b) f/(x)=0. Тогда для некоторого LÌ R "xÎ(a,b) f(x)=L.

Следствие 2. Функции f:[a,b]®R, g:[a,b]®R имеют произодныеі f/ и g/ на (a,b) и "xÎ(a,b) f/(x)=g/(x). Тогда для некоторого числа LÌ R "xÎ(a,b): f(x)=g(x)+L.

Следствие 3. Пусть функция f:[a,b]®R имеем производную f/ на (a,b) и для некоторого LÌ R "xÎ(a,b) f/(x)=L. Тогда для некоторого MÌ R "xÎ(a,b): f(x)=Lx+M.

ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f:[a,b]®R, g:[a,b]®R удовлетворяют условиям: 1) f, gÎC[a,b]; 2) "xÎ(a,b) существуют производныеі f/ и g/ ; 3) "xÎ(a,b) g/(x)¹0.

Тогдаі $CÎ(a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f/(C)/g/(C).