Курсовая работа: Проектирование устройств фильтрации

Здесь ωС — частота среза (для фильтра-прототипа она равна 1 рад/с), Тn(U) — полином Чебышева n-го порядка, n — порядок фильтра, ε — параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания, ωС — частота среза, нормированная комплексная частота.

Полином Чебышева Тn(х) при х<1 колеблется в диапазоне -1... +1,

а при х >1 неограниченно возрастает по абсолютной величине. Поэтому АЧХ фильтра Чебышева первого рода в полосе пропускания (при |ω|<ωС) колеблется между значениями и 1, а вне полосы пропускания (при |ω|>ωС) монотонно затухает до нуля (см.рисунок 3.1.1)

Коэффициент передачи на нулевой частоте равен 1 при нечетном порядке фильтра, — при четном. На частоте среза коэффициент передачи фильтра равен , то есть уровню пульсаций АЧХ в полосе пропускания. При ω→∞ АЧХ стремится к нулю.[5]

Рисунок 3.1 АЧХ фильтра Чебышева первого рода 4-го и 5-го порядков соответственно.

ФЧХ фильтра Чебышева изображены на рисунке 3.1.2.Из рисунка видно,что полоса пропускания становится более нелинейной при увеличении порядка фильтра. Обусловлено это колебательным видом АЧХ.[5]

Рисунок 3.2 ФЧХ фильтра Чебышева первого рода 4-го и 5-го порядков соответственно

ХГВЗ фильтра Чебышева изображены на рисунке 3.1.3.В полосе пропускания при увеличении порядка фильтра отклоняется от идеальной функции . Это приводит к увеличению вклада фазовых искажений в общее искажение формы выходного сигнала.

Рисунок 3.3 ХГВЗ фильтра Чебышева первого рода 4-го и 5-го порядков соответственно

ХРЗ фильтра Чебышева на рисунке 3.1.4 имеет равноволновый характер в полосе пропускания и монотонный характер в переходной области и полосе задерживания. Количество колебаний в полосе пропускания возрастает с увеличением порядка фильтра.[5]

Рисунок 3.4 ХРЗ фильтра Чебышева

Временные характеристики фильтра Чебышева I рода (рисунок 3.1.5 )— импульсная переходная функция и переходная функция Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

С увеличением порядка фильтра увеличиваются длительность переходного процесса, амплитуда колебаний (включая и амплитуду первого выброса), уменьшается размах основного лепестка импульсной характеристики при одновременном увеличении его длительности по уровню 0,5. Подобное поведение временных характеристик нежелательно при обработке импульсных сигналов, например телевизионных, поскольку при этом на изображении возникают окан-товки на яркостных переходах, уменьшается контрастность мелких деталей изображения.[5]

Рисунок 3.5 Импульсная переходная функция и переходная функция фильтра Чебышева

3.2 АППРОКСИМАЦИЯ ЧЕБЫШЕВА ИНВЕРСНАЯ (ВТОРОГО РОДА)

При аппроксимации АЧХ многочленами Чебышева задавалась допустимая неравномерность АЧХ фильтров в полосе пропускания при помощи параметра εp . Однако можно также задать требуемый уровень подавления в полосе заграждения при помощи параметра , тогда получим фильтры Чебышева второго рода или как их еще называют инверсные фильтры Чебышева. Аппроксимирующая функция в этом случае задается выражением , а квадрат модуля АЧХ представляется в виде:

(3.5)

На рисунках показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода порядка N=4 при (уровень подавления в полосе заграждения равен )

Рисунок 3.3: Аппроксимирующая функция фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка

Рисунок 3.4: Квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка

Если нормированный фильтр Чебышева первого рода на частоте «пропускает» сигнал, т.к. Близко к единице (0 дБ), то нормированный фильтр Чебышева второго рода на частоте «подавляет» сигнал, т.к. .[4]