Курсовая работа: Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами

(1.5)

Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних методів розв’язування задачі (1.1) - (1.2).Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо

(1.6)

Відкинувши в цій рівності доданок порядку О(h² ), дістанемо розрахункову формулу:

(1.7)

яку називають формулою Ейлера. у_k i y(x_k ) – відповідно наближене і точне значення шуканого розв’язку задачі (1.1) і (1.2) у точці х_k . Різницю у_k -y(x_k ) називають похибкою наближеного значення у_k у точці x_k.

Оскільки дотична до графіка функція у(х) в точці (x_k ,y_k ) матиме вигляд:

або

Звідси для ординати точки у_k+1 перетину цієї дотичної з прямою х=х_k+1 дістанем формулу (1.7), а це означає, що на кожному з відрізків [x_k ,x_k+1 ], (k=0, 1, 2, ..., n-1 ) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (x_k ,y_k ). Якщо в площині О_ху позначити точки М_k (x_k ;y_k ), k=0, 1, 2,...,n і сполучити їх по порядку відрізками, то дістанемо ламану (її називають ламаною Ейлера), яка наближено зображує графік шуканого розв’язку задачі (1.1) – (1.2). У цьому і полягає геометричний зміст методу Ейлера (див. рис. 1)

х4

х1

х

0

х0

Зазначимо, що похибка методу Ейлера на кожному кроці є величина порядку О(h² ). Точність методу досить мала і переходом від точки x_k до точки x_k+1 її похибка систематично зростає.

Виправлений метод Ейлера.

Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою середніх прямокутників, тобто значення підінтегральної функції f(x,y(x)) обчислити в точці

, то знайдемо

(1.8)

Величину невідомого значення функції у() обчислимо за формулою (1.6) з кроком . Матимемо:

Підставивши це значення у() в (1.8), дістанемо

Відкинувши тут доданок пропорційний h³ , матимемо

Розрахункові формули вдосконаленого методу Ейлера можна записати у вигляді

Отже, в удосконаленому методі Ейлера спочатку за метод Ейлера обчислюють наближений розв’язок у задачі (1.1)-(1.2) в точці а потім наближений розв’язок у_k+1 у точці х_k+1 ; на кожному кроці інтегрування праву частину рівняння (1.1) обчислюють двічі (у точках (х_k ,у_k ) і ()).

Геометрично це означає, що на відрізку [x_k ,x_k+1 ] графік інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) замінюється відрізком прямої, яка проходить через точку (x_k ,y_k ) і має кутовий коефіцієнт k=. Іншими словами, ця пряма утворює з додатним напрямом осі Ох кут .

Рисунок 2.

0

xk

xk+

xk+1

x

Y

Yk+

Yk

y=f(x)

l2

l1

М

Yk+1

Що ж до точки (), то це точка перетину дотичної до інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) в точці (х_k ,y_k ) з прямою Похибка на кожному кроці має порядок О(h³ ) .