Курсовая работа: Программирование и основы алгоритмизации

W(p)=K4/(p*(T4*p+1)*(T5*p+1))

W(p)=K4/(p*(T4² *p² +2*η*T4*p+1))

W(p)=K4/((T4*p+1) (T5² *p² +2*η*T5*p+1))

W(p)=K4/((T4*p+1)*(T5*p+1))

W(p)=K4/(p*(T4*p+1))

Передаточная функция:

W(p)=K6

1. Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера

1.1 Описание метода

Уравнения, содержащие производные от функции, возникают при решении многих научно-технических задач, причем существует большое разнообразие классов подобных уравнений. Для решения некоторых из них могут быть использованы аналитические методы, рассматриваемые в курсах математики, однако в большинстве случаев приходится применять численные методы.

Сначала рассмотрим один из простейших классов дифференциальных уравнений, на примере которого будут показаны особенности использования численных методов.

Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием (задача Коши)

dy / dx = F ( x , y ), (1)

У(x₀ ) = Уо (2)

где F ( x , y ) – заданная функция двух переменных x и у , x₀ , у₀ – известные числа. Требуется определить функцию у = у(x) при х=> x ₀ . Уравнение (1) можно рассматривать как задание кривой через ее производную в координатной плоскости x, у , поскольку известно как вычислить производную в каждой точке этой кривой через ее координаты. В общем случае уравнению (1) удовлетворяет целое семейство кривых; начальное условие (2) позволяет выбрать из этого семейства одну определенную кривую, которая проходит через заданную точку x ₀ , y ₀ .

Для численного решения (1) , (2) заменим область непрерывного изменения аргумента х дискретным множеством точек, т.е. введем сетку. Положим, что величина х изменяется от значения х= x ₀ до значения х= b . Тогда, рассматривая равномерную сетку, получаем узловые точки x₀ , x ₁ ,… x_k ,… b , находящиеся на расстоянии h друг от друга, т.е.

x_{k +1} - x_k = h , k =0,1... , (3)

где h – шаг сетки. Соответствующие значения функции будем обозначать у_k , т.е.

y_k = y *( x_k ).

Здесь у* (х) – функция, которая является приближенным решением (1), (2). Для получения численного решения, дифференциальное уравнение (1) заменяется уравнениями относительно значений функций у*(x) в узловых точках. Эти уравнения называются разностными. Простейшее разностное уравнение для (1) имеет вид

( y_{k +1} - y_k )/ h = F ( x_k , y_k ) k =0, l ,... , (4)

Уравнение (4) следует из (1), если производную dy/ dx приближенно представить через значения функции у(x) в соседних узлах.

Соотношения (2.12.4) можно записать в виде

Y_{k +1} = y_k + h * F ( x_k , y_k ). (5)

Тогда, учитывая (2), с помощью формулы (5) можно последовательно определить значения у₁ ,y₂ , .… Этот метод приближенного решения (1), (2) называется методом Эйлера. Геометрическая интерпретация этой схемы дана на рис.1 , где изображено поле интегральных кривых. Использование только первого члена формулы Тейлора означает движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней. На каждом шаге мы заново находим касательную; следовательно, траектория движения будет ломаной линией. Из-за этого метод Эйлера иногда называют методом ломаных.

Рис.1

Доказывается, что если шаг сетки h стремится к нулю, то приближенное решение, определяемое (5), стремится к точному решению (1), (2), т.е. имеется факт сходимости приближенного решения к точному при h ®0. Однако в условиях реальных вычислений на компьютере при конечном шаге целесообразно знать насколько полученное приближенное решение близко к точному. В качестве меры отклонения (нормы ошибки) часто используют величину

d y = max | y ( x_k ) – y_k |. (6)

Здесь у(х) — строгое решение (1), (2) , y_k — приближенное значение искомой функции в узловых точках x_k , полученное путем решения разностных уравнений, например (4).

Для разностных уравнений величина d y оценивается формулой

d y ~ Ch^m (7)

Здесь С — const , зависящая от длины отрезка, на котором ищется решение, и способа дискретизации (1) , m – параметр, который называется порядком точности решения. Порядок точности метода Эйлера - минимальный, т.е. т = 1, что связано с довольно грубым способом аппроксимации дифференциального уравнения разностным. Как правило, чем выше порядок точности, тем более предпочтительным является численный метод.