Курсовая работа: Программирование системы уравнений
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2 . Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1 .
В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.
Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными хk +1 , … , xk переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х1 , … , xk , которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.
Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий), чем другие методы.
3 Решение уравнения методами Ньютона, Хорд
Метод хорд (способ пропорциональных частей) — численный метод уточнения корня трансцендентного уравнения.
Точный корень 
уравнения 
находится на отрезке 
. Производная 
на этом промежутке непрерывна и сохраняет постоянный знак. Приближенный корень 
, при котором 
, можно найти используя метод хорд. Для этого нужно взять начальное приближение корня 
и применить к нему итерационную формулу:
линейный уравнение хорда гаусс ньютон
, 
, если 
, , если 
Погрешность вычислений:
, 
, 
В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала (рисунок 1).
| Рис. 1. Метод хорд | Рис.2. Метод касательных |
Здесь вычисляются значения функции на концах отрезка и строится “хорда”, соединяющая точки (a, f(a)) и (b, f(b)). Точка пересечения ее с осью абсцисс
принимается за очередное приближение к корню. Анализируя знак f(z) в сопоставлении со знаком f(x) на концах отрезка, сужаем интервал до [a,z] или [z,b] и продолжаем процесс построения хорд до тех пор, пока разница между очередными приближениями не окажется достаточно малой (в пределах допустимой погрешности) |Zn -Zn-1 |<
.
Можно доказать, что истинная погрешность найденного приближения:
,
где X* - корень уравнения, Zn и Zn+1 - очередные приближения, m и M – наименьшее.
Метод Ньютона