Курсовая работа: Программирование системы уравнений
где считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим:
Следовательно,
Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня
![]() |
(2) |
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что
при
и
(см. рис.).
Выберем, например, , для которого
. Проведем касательную к кривой
в точке B0 с координатами
.
В качестве первого приближения корня возьмем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Через точку
снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение
корня и т.д.
Формулу для уточнения корня можно получить из прямоугольного треугольника , образованного касательной, проведенной в точке
, осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки
.
Имеем
Так как угол образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е.
Тогда
или для любого шага n
.
В качестве начальной точки можно принять либо один из концов отрезка [a, b], либо точку внутри этого интервала. В первом случае рекомендуется выбирать ту границу, где выполняется условие
т.е. функция и ее вторая производная в точке должны быть одного знака.
В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия
Как следует из последнего неравенства, требуется при расчете запоминать три значения аргумента . В практических инженерных расчетах часто применяют сравнение аргументов на текущей и предыдущей итерациях:
При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений для корня. Если удается получить аналитическое выражение для производной, то ее вычисление, а также вычисление
можно оформить в виде функций.
4 Разработка блок схемы решения системы уравнения методом Гаусса
5 Разработка блок схемы решения уравнения методом Ньютона