Курсовая работа: Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)

Шаг 1. Найти первое приближение к корню x0 по формуле (2.2).

Шаг 2. Находить следующие приближения к корню по формуле (2.1), пока не выполнится условия окончания:

|xi-xi+1|<e.

Последнее найденное приближение и будет корнем.

3. ОПИСАНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ

Для обоснования выбора метода Ньютона для нахождения корней уравнений с одной переменной рассмотрим два другие итерационные метода.

3.1. Метод половинного деления

Другое название метода – метод дихотомии.

Дано:

уравнение f(x) =0,

где f(x) ÎC [m,n], f(m) ×f(n) <0;

точность e.

Найти: решение уравнения с заданной точностью.

Другими словами, необходимо найти нуль функции на отрезке с заданной точностью. При этом функция непрерывна и в концах отрезка принимает значения разных знаков.

Алгоритм метода:

??? 1. ??????? ??????? ???????. ????????? ????? ?: = (b+a) /2 (??. ??????? 3.1).

f(x)

f(n)

0mkn

x

f(m)

Рисунок 3.1. – Метод половинного деления

Шаг 2. Проверяются следующие условия.

1. Если f(c) =0 – корень найден.

2. Если f(a) ×f(c) <0 – корень на [a,c], поэтому b: =c.

3. Если f(c) ×f(b) <0 – корень на [c,b], поэтому a: =c.

Шаг 3. Проверяется условие |a-b|<ε. Если условие выполнено, то считается, что корень найден. В этом случае он принимается равным а (хотя можно принять его равным b или даже (a+b) /2). Иначе переход к шагу 1.

3.2. Метод итераций

Дано:

уравнение f(x) =0,

где f(x) ÎC' [m,n], f(m) ×f(n) <0,

f'(x) знакопостоянна на отрезке [a,b] ;

точность e.