Курсовая работа: Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)

Идея метода заключается в том, что от уравнения f(x) =0 переходим с помощью равносильных преобразований к уравнению вида x=φ(x).Т. е. задача сводится к нахождению абсциссы ξ точки пересечения двух графиков функции (см. рис.2). В общем случае φ(x) =x-f(x) *C.

Рисунок 3.2. – Корень уравнения

Точка ξ, для которой выполняется ξ= φ(ξ), называется неподвижной точкой процесса итераций. Очевидно, что эта точка является корнем уравнения f(x) =0.

Константа С подбирается таким образом, чтобы функция φ(x) удовлетворяла условиям сходимости метода итераций:

1) – является непрерывной и дифференцируемой на [m,n] ;

2) значения ;

3) для .

Если , то С нужно выбирать так, чтобы и для .

Метод состоит в построении последовательности приближений к корню. В качестве начального приближения выбирается любая точка x0Î [a,b]. Для определенности можно брать середину отрезка [a,b]. В качестве формулы получения последующих приближений выступает сама φ(x):

Алгоритм метода:

Шаг 1. Найти первое приближение к корню x0 как середину отрезка [m,n].

Шаг 2. Находить следующие приближения к корню по формуле, пока не выполнится условия окончания:

|xi - xi+1|<e.

Последнее найденное приближение и будет корнем.

3.3. Обоснование выбора метода

При рассмотрении обоих методов видно, что скорость сходимости метода Ньютона (касательных) выше скорости сходимости метода секущих (хорд) и метода итераций, следовательно, оптимальным для реализации в программе является метод Ньютона.

4. ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Реализация поставленной задачи совершается на языке программирования Turbo Pascal 7.0.

Система программирования Turbo Pascal, разработанная американской корпорацией Borland, остаётся одной из самых популярных систем программирования в мире. Этому способствует простота лежащая в основе языка программирования Pascal, а также поддержка графического и текстового режимов, что делает Turbo Pascal мощной современной профессиональной системой программирования.

5. ОПИСАНИ ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

5.1 Информационные потоки

Для наглядности работы программы, движению информации и взаимодейстия програмной части с аппаратной, разработана схема информационных потоков (рисунок 5.1).

ПРОГРАММА

Рисунок 5.1 – Схема информационных потоков

??????? 5.1 ? ????? ?????????????? ??????? (???????????)

Условные обозначения:

? ??????, ???????? ??????? ????????

как из файлов, расположенных на

жёстком диске, так и с клавиатуры;

–Данные, выводимые на экран;

Данные, вводимые из файла.

5.2. Описание функционирования программы

При запуске программы на экране появляется титульный лист, отображающий информацию о студенте; далее загружается меню программы, состоящее из пяти пунктов:

Рисунок 5.2 – Схема функционирования программы

– Справка