Курсовая работа: Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона
Автоматическое изменение шага в ходе решения систем дифференциальных уравнений необходимо, если решение требуется получить с заданной точностью. При высокой точности (погрешность 
) и решении в виде кривых с сильно различающейся крутизной автоматическое изменение шага обеспечивает уменьшение общего числа шагов в несколько раз, резко уменьшается вероятность числовой неустойчивости, даёт более равномерное расположение точек графика кривых (решений) при их выводе на печать. Данный метод обеспечивает приближённую оценку погрешностей на каждом шаге интегрирования. Погрешность интегрирования имеет порядок h 5 . Этот метод реализуется следующим алгоритмом: Задаём число уравнений N, погрешность ε= E , начальный шаг интегрирования h = H и начальное значение y10 ,…,yN 0 . С помощью пяти циклов с управляющей переменной J=1,2,..,N вычисляем коэффициенты:
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Находим (в последнем цикле) значение (12)
(12)
И погрешность
(13)
Проверяем выполнения условий
(14)
(15)
Если условие (14) не выполняется, то делим шаг h на 2 и повторяем вычисления. Если это условие выполняется и выполняется условие (15), значение xi +1 = xi + h и Yj ( i +1) , то считаем, что решение системы дифференциальных уравнений найдено с заданной точностью. Если условие (15) не выполняется , шаг h увеличивается вдвое и вычисления повторяются.
3. Алгоритмизация задачи
В соответствии с постановленной в разделе 2 задачей целесообразно реализовать алгоритм, использующий обращение к соответствующим подпрограммам из головной программы.
Алгоритм работы головной программы следующий:
Скрыть курсор с использованием подпрограммы - процедуры скрытия курсора и вывести в специальном окне заставку программы, содержащую сведения о назначении программы, исполнителе и руководителе курсовой работы, а также подсказку для пользователя о последующих действиях, с использованием подпрограммы - процедуры заставки.
Запустить подпрограмму-процедуру вертикального меню при нажатии любой клавиши с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и скрытия курсора.
Запустить подпрограмму-процедуру справки и вывести в специальном окне справочные сведения о работе с программой при выборе пункта меню «Справка» с использованием строки-подсказки о возврате в меню.
Запустить подпрограмму-процедуру поиска решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта при выборе пункта меню «Метод Рунге-Кутта» с использованием включения курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
Запустить подпрограмму-процедуру поиска решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсона при выборе пункта меню «Метод Рунге-Кутта-Мерсона» с использованием включения курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
Завершить работу программы при выборе пункта меню «Выход».
Алгоритм поиска решения системы уравнения методом Рунге-Кутта в подпрограмме-процедуре runkut включает следующие шаги:
Создать окно для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления.
Восстановить отображение курсора нормального размера соответствующей подпрограммой - процедурой.
Задать начальный шаг-h и начальные значение x о ,y10 ,…,yN 0 .
В подпрограмме-функции задаём вид правой части уравнений.
В подпрограмме-процедуре задаём вид системы дифференциальных уравнений.
Организовать цикл для поиска коэффициентов погрешности по формулам (2-5)