Курсовая работа: Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

В курсовой работе в соответствии с заданием на проектирование решается задача разработки программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.

В данной пояснительной записке проводится описание последовательности шагов по составлению программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Рассматриваются вопросы математической формулировки и алгоритмизации задачи, разработки блок-схемы алгоритма её решения, составления исходной Pascal-программы и реализации вычислений по составленной программе.

Выбор метода вычисления, обращение к справке по программе и выход из программы обеспечивается с помощью специального меню. Ввод исходных данных и вывод результатов вычисления выполняется в отдельном для каждого метода вычислений окне.

В пояснительной записке приводится также сравнения точности вычислений корней системы уравнений использованными методами.

1. Постановка задачи

Ставится задача составить программу решения системы дифференциальных уравнений:

(1)

Требуется найти решение системы дифференциальных уравнений (1) методом Рунге-Кутта и методом Рунге-Кутта-Мерсона. Выбор метода решения посредствам меню, при помощи клавиш управления курсором.

Таким образом, программа должна обеспечивать возможность:

выбора пользователем численного метода поиска решения системы дифференциальных уравнений;

предоставить пользователю возможность получить краткую справку о программе;

вывода результатов вычисления на дисплей в удобном для восприятия виде.

В результате сформулируем следующую задачу по созданию программы:

вид системы дифференциальных уравнений должен задаваться в подпрограмме – процедуре;

вид правой части уравнений должен задаваться в подпрограмме – функции;

программа после загрузки должна выводить на дисплей исходное окно-заставку, в которой отображаются общие сведения о статусе программы и её авторе;

после выполнения указанной в строке подсказки процедуры перехода должно выводиться вертикальное меню с пунктами: «Справка», «Метод Рунге-Кутта», «Метод Рунге-Кутта-Мерсона» и «Выход»

при выборе в меню пункта «Справка» должна выводиться краткая справка о назначении программы;

после выбора в меню варианта численного метода должно открываться отдельное окно, в котором будут вводиться начальные условия и выводиться результат поиска выбранным методом;

при выборе пункта меню «Выход» программы должна завершать работу.

2. Математическая формулировка задачи

Задача Коши заключается в решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (1) первого порядка, представляемых в виде:

(1.1)

Где j =1 N -номер каждой зависимой переменной y_j , x -независимая переменная .

Решение системы (1.1) при заданных начальных условиях x = x ₀ , y ₁ ( x ₀ )= y ₁₀ ,…, y ₂ ( x ₀ )= y ₂₀ , y_N ( x ₀ )= y_{N 0} сводиться к нахождению зависимостей (интегральных кривых) y ₁ ( x ),…, y ₂ ( x ), y_N ( x ), проходящих через точки ( x ₀ , y ₁₀ ), ( x ₀ , y ₂₀ ),…, ( x ₀ , y_{N 0} ). Задача Коши сводиться к интегрированию дифференциальных уравнений. Порядок метода численного интегрирования при этом определяется и порядок метода решения (1).

2.1 Метод Рунге-Кутта

Этот метод является наиболее распространенным методом решения систем (1.1) при шаге h = const . Его достоинством является высокая точность-погрешность - и меньшая склонность к возникновению неустойчивости решения. Алгоритм реализации метода заключается в циклических вычислениях Y_{j ( i +1)} на каждом i+1 шаге по следующим формулам:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--