Курсовая работа: Решение дифференциальных уравнений по методу Эйлера

Рисунок 1.

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x₀ |£a, |y-y₀ |£b}удовлетворяет условиям:

|f(x, y₁ )- f(x, y₂ )| £ N|y₁ -y₂ | (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(x_n )-y_n | £ hM/2N[(1+hN)ⁿ -1], (3)

где у(х_n )-значение точного решения уравнения(1) при х=х_n , а у_n - приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет : сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагомh/2. Погрешность более точного значения у_n ^* оценивается формулой

|y_n -y(x_n )|»|y_n ^* -y_n |. (4)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

2.2 Исправленный метод Эйлера

В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс наклона касательнй для двух точек: x_m , y_m и x_m +h, y_m +hy’_m . Последняя точка есть та самая, которая в простом методе обозначалась x_m+1 , y_m+1 . Геометрический процесс нахождения точки x_m+1 , y_m+1 можно проследить по рисунку 2. С помощью метода Эйлера находится точка x_m +h, y_m +hy’_m, лежащая на прямой L_1. В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной, на рисунке этому значению соответствует прямая L₂ . Усреднение двух тангенсов дает прямую L’₃ . Наконец, через точку x_m , y_m мы проводим прямую L₃ параллельную L’₃ . Точка, в которой прямая L₃ пересечется с ординатой, восстановленной из x= x_m+1 =x_m +h, и будет искомой точкой y= y_m+1 = y_m +hy’_m . Тангенс угла наклона L₃ равен:

F(x_m , y_m )=1/2[f(x_m , y_m )+f(x_m +h, y_m +hy’_m )], (5)

где y_m = f(x_m , y_m ) (6)

Уравнение линии L₃ при этом записывается в виде:

y = y_m + (x - x_m )*F(x_m ) (7)

так что:

y_m+1 = y_m + h*F(x_m ) (8)

Соотношения 5, 6, 7 и 8 описывают исправленный метод Эйлера. (рис. 2)

Рисунок 2.

2.3 Модифицированный метод Эйлера

Этот метод более точен. Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) с начальным условием y(x₀ )=y₀ . Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участке [x₀ ,x₀ +h] интегральную кривую заменимпрямой линией. Получаем точкуМ_к (х_к ,у_к ). (рис. 3)

_Y

N_k ^/ _y=y(x)

М_к М_к ^/

Y_k+1

Y_k