1. Краткие теоретические сведения

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:

y^{( n )} = f (x, y, y^’ , y^’’ … y^{( n -1)} )

Общее решение этого уравнения зависит от n-произвольных постоянных.

Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др.Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса.

Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального уравнения y^{( n )} = f (x, y, y^’ , y^’’ … y^{( n -1)} ) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения.

Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х₀ ) = y₀ , причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х₀ , y₀ ). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:

y (x) – y (x₀ ) =

Коэффициенты A_k ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х – х₀ .

К численным методам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты).

Если a – точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a^* называют величину Д(а^* ), которая определяется следующим образом:

|a^* -a| ≤ Д(a^* )

Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом:

|(a^* -a)/ a^* | ≤ д(a^* )

Таким образом, эти две погрешности связаны между собой:

д(a^* ) = Д(a^* ) / |a^* |

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Числа a^* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой.

2. Дифференциальное уравнение

Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения.

Дано:

2x''+5x'=29cost

x(0)= -1

x'(0)=0

2.1 Точное решение операторным методом

Пусть X(s) изображение, а х(t) оригинал.

Продифференцируем левую часть уравнения:

2x''+5x'=5*(s² *X-s*x(0) – x'(0))+5*(s*X-x(0))

Подставим данные значения x(0) и x'(0) в уравнение и получим:

x''-3x'+2x= 2*(s² *X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s² +5s)+s*2+5

Преобразуем правую часть уравнения в пространство Лапласа

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--