Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

Тогда следующей точкой решения можно считать ту, где прямая L₁ пересечет ординату, проведенную через точку x=x_m+1 =x_m +h.

Уравнение прямой L₁ выглядит так: y=y_m +y¢_m (x-x_m ) так как y¢=f(x_m ,y_m ) и кроме того, x_m+1 =x_m +h тогда уравнение примет вид

y_m+1 =y_m +h*f(x_m ,y_m ) 1.1

Ошибка при x=x_m+1 показана в виде отрезка е. Очевидно, найденное таким образом приближенное значение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h, так что ошибка ограничения равнаe_t =Кh2

Заметим, что хотя точка на графике 1была показана на кривой, в действительности y_m является приближенным значением и не лежит точно на кривой.

Формула 1.1 описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Отметим, что метод Эйлера является одним из методов Рунге-Кутта первого порядка.

Рассмотрим исправленный метод Эйлера и модификационный метод Эйлера.В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек: x_m ,y_m и x_m +h,y_m +hy¢_m . Последняя точка есть та самая, которая в методе Эйлера обозначалась x_m+1 ,y_m+1 . Геометрический процесс нахождения точки x_m+1 ,y_m+1 можно проследить по рис.2. С помощью метода Эйлера находится точка x_m +h,y_m +hy¢_m , лежащая на прямой L₁ . В этой точке снова вычисляется тангенс, дает прямую L. Наконец, через точку x_m ,y_m мы проводим прямую L, параллельную L. Точка, в которой прямая L пересечется с ординатой, восстановленной из x=x_m+1 =x_m +h, и будет искомой точкой x_m+1 ,y_m+1 .

Тангенс угла наклона прямой L и прямой L равен

Ф(x_m ,y_m ,h)=½[f(x_m ,y_m )+f(x_m +h,y_m +y¢_m h)] 1.2

где y¢_m =f(x_m ,y_m ) 1.3

Уравнение линии L при этом записывается в виде

y=y_m +(x-x_m )Ф(x_m ,y_m ,h),

так что

y_{m +1} =y_m +hФ(x_m ,y_m ,h). 1.4

Соотношения 1.2, 1.3, 1.4 описывают исправленный метод Эйлера.

????? ????????, ????????? ?????? ???? ????? ??????????? ? ??????????? ? ??? ???????, ????????, ??? ?????????? ? ??? ??????? f(x,y) ????? ???????? ????????? ???????:

f(x,y)=f(x_m ,y_m )+(x-x_m )¶f/¶x+(y-y_m )¶f/¶x+¼1.5

где частные производные вычисляются при x=x_m и y=y_m .

Подставляя в формулу 1.5 x=x_m +h и y=y_m +hy¢_m и используя выражение 1.3 для y¢_m , получаем

f(x_m +h,y_m +hy¢_m )=f+hf_x +hff_y +O(h2),

где снова функция f и ее производные вычисляются в точке x_m ,y_m . Подставляя результат в 1.2 и производя необходимые преобразования, получаем

Ф(x_m ,y_m ,h)=f+h/2(f_x +ff_y )+O(h2).

Подставим полученное выражение в 1.4 и сравним с рядом Тейлора

y_m+1 =y_m +hf+h2/2(f_x +ff_y )+O(h3).

Как видим, исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2, являясь, таким образом, методом Рунге-Кутты второго порядка.

Рассмотрим модификационный метод Эйлера. Рассмотрим рис.3 где первоначальное построение сделано так же, как и на рис.2. Но на этот раз мы берем точку, лежащую на пересечении этой прямой и ординатой x=x+h/2. На рисунке эта точка образована через Р, а ее ордината равна y=y_m +(h/2)y¢_m . Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке

Ф(x_m ,y_m ,h)=f+(x_m +h/2,y_m +h/2*y¢_m ),1.6

где y¢_m =f(x_m ,y_m ) 1.7

Прямая с таким наклоном, проходящая через Р, обозначена через L*. Вслед за тем, мы проводим через точку xm,ym прямую параллельную L*, и обозначаем ее через L₀ . Пересечение этой прямой с ординатой x=x_m +h и даст искомую точку x_m+1 ,y_m+1 . Уравнение прямой можно записать в виде y=y_m +(x-x_m )Ф(x_m ,y_m ,h),

где Ф задается формулой 1.6. Поэтому