Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

Соотношения 1.6, 1.7, 1.8 описывают так называемый модификационный метод Эйлера и является еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка. Обобщим оба метода. Заметим, что оба метода описываются формулами вида

y_m+1 =y_m +hФ(x_m ,y_m ,h) 1.9

и в обоих случаях Ф имеет вид

Ф(x_m ,y_m ,h)=a₁ f(x_m ,y_m )+a₂ f(x_m +b₁ h,y_m +b₂ hy¢_m ),1.10

где y¢_m =f(x_m ,y_m ) 1.11

В частности, для исправленного метода Эйлера

a₁ =a₂ =1/2;

b₁ =b₂ =1.

? ?? ????? ??? ??? ???????????????? ?????? ??????

a₁ =0, a₂ =1,

b₁ =b₂ =1/2.

Формулы 1.9, 1.10, 1.11 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты. Посмотрим, какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае и каковы допустимые значения параметров a₁ , a₂ , b₁ и b₂ .

Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h, в общем случае достаточно одного параметра. Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h2, потребуется еще два параметра, так как необходимо учитывать члены h2f_x и h2ff_y . Так как у нас имеется всего четыре параметра, три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h2, то самое лучшее, на что здесь можно рассчитывать - это метод второго порядка.

В разложении f(x,y) в ряд 1.5 в окрестности точки x_m ,y_m положим x=x_m +b₁ h,

y=y_m +b₂ hf.

Тогдаf(x_m +b₁ h,y_m +b₂ hf)=f+b₁ hf_x +b₂ hff_y +O(h2),где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке x_m ,y_m .

Тогда 1.9 можно переписать в виде ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3).

Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора, можно переписать в виде

y_m+1 =y_m +h[a₁ f+a₂ f+h(a₂ b₁ f_x +a₂ b₂ ff_y )]+O(h3).

Если потребовать совпадения членов hf, то a₁ +a₂ =1.

Сравнивая члены, содержащие h2f_x , получаем a₂ b₁ =1/2.

Сравнивая члены, содержащие h2ff_y , получаем a₂ b₂ =1/2.

Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных, то одно из этих неизвестных можно задать произвольно, исключая, может быть, нуль, в зависимости от того, какой параметр взять в качестве произвольного.

Положим, например, a₂ =w¹0. тогда a₁ =1-w, b₁ =b₂ =1/2w и соотношения 1.9, 1.10, 1.11 сведутся к

y_m+1 =y_m +h[(1-w)f(x_m ,y_m )+wf(x_m +h/2w,y_m +h/2wf(x_m ,y_m ))]+O(h3) 1.12

Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка. При w=1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера, при w=1 получаем модификационный метод Эйлера. Для всех w, отличных от нуля, ошибка ограничения равна

e_t =kh31.13

Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков. Мы не будем воспроизводить выкладки, а ограничимся тем, что приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений

y_m+1 =y_m +h/6(R₁ +2R₂ +2R₃ +R₄ ) 1.14

где R₁ =f(x_m ,y_m ),1.15